Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình chữ nhật $ABCD$, $SA\perp (ABCD)$ và $AB=a$, $AD=a\sqrt{2}$, $SA=2a$. Gọi $I$ là trung điểm của đoạn thẳng $CD$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: $A(0;0;0)$, $B(a;0;0)$, $D(0;a\sqrt{2};0)$, $C(a;a\sqrt{2};0)$, $S(0;0;2a)$.
a) $BC\parallel AD$. $\overrightarrow{SD}=(0;a\sqrt{2};-2a)$, $|SD|=a\sqrt{6}$; $\overrightarrow{AD}=(0;a\sqrt{2};0)$. $\cos =\frac{2a^2}{a\sqrt{6}\cdot a\sqrt{2}}=\frac{2}{\sqrt{12}}=\frac{1}{\sqrt{3}}$ → Đúng.
b) Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $CA$ là hình chiếu của $SC$ lên $(ABCD)$, góc giữa $SC$ và $(ABCD)$ là $\widehat{SCA}$ → Đúng.
c) $\overrightarrow{SB}=(a;0;-2a)$, $\overrightarrow{AI}=(a;\frac{a\sqrt{2}}{2};0)$. $\cos =\frac{a^2}{a\sqrt{5}\cdot a\sqrt{3/2}}=\frac{1}{\sqrt{7,5}}\approx 0,3651$ → góc $\approx 68,6^{\circ }\ne 79^{\circ }$ → Sai.
d) $\overrightarrow{CD}=(a;0;0)$, $\overrightarrow{SD}=(0;a\sqrt{2};-2a)$, tích vô hướng $=0$ nên $CD\perp SD$, tam giác $SCD$ vuông tại $D$ → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $BC\parallel AD$, $\cos (BC,SD)=\cos (AD,SD)=\frac{\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{SD}}{|AD||SD|}=\frac{2a^2}{a\sqrt{2}\cdot a\sqrt{6}}=\frac{1}{\sqrt{3}}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$SA\perp (ABCD)$ nên $CA$ là hình chiếu vuông góc của $SC$ trên $(ABCD)$; góc giữa $SC$ và $(ABCD)$ là $\widehat{SCA}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\cos (SB,AI)=\frac{a^2}{a\sqrt{5}\cdot a\sqrt{3/2}}=\frac{1}{\sqrt{7,5}}\approx 0,3651$, suy ra góc $\approx 68,6^{\circ }$, không phải $79^{\circ }$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{CD}\cdot \overrightarrow{SD}=(a;0;0)\cdot (0;a\sqrt{2};-2a)=0$ nên $CD\perp SD$, tam giác $SCD$ vuông tại $D$.