Cho hình chóp $S.ABCD$, có đáy là hình bình hành tâm $O$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $SA,SD$.

a) Chứng minh rằng $(OMN)//(SBC)$.

b) Gọi $P,Q$ lần lượt là trung điểm của $AB,ON$. Chứng minh $PQ//(SBC)$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu hỏi khớp với trang 31 (PHẦN IV. Tự Luận, Câu 1). Lời giải AI:

a) Trong tam giác $SAD$: $M$ là trung điểm $SA$, $N$ là trung điểm $SD$ nên $MN$ là đường trung bình, suy ra $MN//AD$. Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $AD//BC$, do đó $MN//BC$.

Trong tam giác $SAC$: $M$ là trung điểm $SA$, $O$ là trung điểm $AC$ (tâm hình bình hành) nên $OM$ là đường trung bình, suy ra $OM//SC$.

Ta có $MN,OM\subset (OMN)$, $MN\cap OM=M$; đồng thời $MN//BC\subset (SBC)$, $OM//SC\subset (SBC)$, và $MN$ không song song $OM$. Theo định lí về hai mặt phẳng song song, suy ra $(OMN)//(SBC)$.

b) Trong tam giác $SBD$: $O$ là trung điểm $BD$, $N$ là trung điểm $SD$ nên $ON$ là đường trung bình, suy ra $ON//SB$.

Trong tam giác $ABC$: $P$ là trung điểm $AB$, $O$ là trung điểm $AC$ nên $PO$ là đường trung bình, suy ra $PO//BC$.

Xét mặt phẳng $(PON)$: $PO,ON\subset (PON)$, $PO\cap ON=O$; đồng thời $PO//BC\subset (SBC)$, $ON//SB\subset (SBC)$, và $PO$ không song song $ON$. Theo định lí về hai mặt phẳng song song, suy ra $(PON)//(SBC)$.

Vì $Q$ là trung điểm của $ON$ nên $Q\in ON\subset (PON)$; lại có $P\in (PON)$, do đó $PQ\subset (PON)$. Mà $(PON)//(SBC)$ và $PQ\not\subset (SBC)$, nên $PQ//(SBC)$.

Kiểm tra bằng tọa độ: lấy $A(0;0;0),B(1;0;0),C(1;1;0),D(0;1;0),S(0;0;1)$ thì $(SBC)$ có phương trình $x+z=1$; $(PON)$ với $P(0,5;0;0),O(0,5;0,5;0),N(0;0,5;0,5)$ có phương trình $x+z=0,5$, đúng là song song với $(SBC)$, và $Q(0,25;0,5;0,25)\in (PON)$.