Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông tâm $O$ cạnh $a$. Biết SA vuông góc với đáy và $SA=a\sqrt{3}$.
a) Chứng minh rằng $DC\perp (SAD)$.
b) Tính số đo góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $(ABCD)$.
c) Tính số đo của góc nhị diện $[S,BD,A]$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Vì $ABCD$ là hình vuông nên $DC\perp AD$. Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp DC$. Do đó $DC\perp (SAD)$ (vì $DC$ vuông với hai đường thẳng cắt nhau $AD$ và $SA$ trong mặt phẳng $(SAD)$).

b) Hình chiếu của $S$ lên $(ABCD)$ là $A$, nên hình chiếu của $SC$ lên $(ABCD)$ là $AC$. Góc giữa $SC$ và $(ABCD)$ là $\widehat{SCA}$. Tam giác $SAC$ vuông tại $A$ với $AC=a\sqrt{2}$, $SA=a\sqrt{3}$, nên $\tan \widehat{SCA}=\frac{SA}{AC}=\frac{a\sqrt{3}}{a\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6}}{2}$. Vậy góc cần tìm bằng $\arctan \frac{\sqrt{6}}{2}\approx 50,8^{\circ }$.

c) Gọi $O$ là tâm hình vuông, $AO=\frac{a\sqrt{2}}{2}$. Vì $ABCD$ là hình vuông nên $BD\perp AC$ tại $O$. Do $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp BD$, suy ra $BD\perp (SAO)$, tức $BD\perp SO$. Vậy góc nhị diện $[S,BD,A]$ là $\widehat{SOA}$. Tam giác $SOA$ vuông tại $A$: $\tan \widehat{SOA}=\frac{SA}{AO}=\frac{a\sqrt{3}}{a\sqrt{2}/2}=\sqrt{6}$. Vậy $\widehat{SOA}=\arctan \sqrt{6}\approx 67,8^{\circ }$.