Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông tâm $O$; $AB=a$. Biết $SA=SB=SC=SD$ và $SO=\frac{a}{2}$.

a) Chứng minh $SO\perp (ABCD)$ và (SBD) vuông góc với (SAC).

b) Xác định và tính góc giữa đường thẳng $SK$ và $(SAC)$.

c) Gọi $E$ là hình chiếu của $O$ lên $SK$, $G$ là trọng tâm $\Delta SAC$. Tính khoảng cách từ $G$ đến mặt phẳng $(ACE)$

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật có $AB=2a,AD=3a$. Gọi $H$ là điểm thuộc cạnh $AD$ sao cho $AH=a$, $SH\perp (ABCD)$ và $SH=2a\sqrt{2}$.

a) Chứng minh $(SCD)\perp (SAD)$.

b) Tính góc giữa $SC$ và $(SAD)$.

c) Gọi $I$ là trung điểm $CD$, $M=AC\cap BH$. Tính $d(M,(SBI))$.

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh bằng $a$; $SA=a\sqrt{2}$ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$. Góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $(ABCD)$ bằng

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $a$, $SA$ vuông góc với đáy, $SC$ tạo với mặt phẳng $(SAB)$ một góc $30^{\circ }$. Tính thể tích khối chóp $S.ABCD$ bằng

Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Gọi $\alpha$ là góc giữa đường thẳng $A{C}^{\prime }$ và mặt phẳng $(ABCD)$. Giá trị của $\sin \alpha$ bằng

Cho hình chóp tam giác đều S.ABC, có cạnh đáy bằng a và góc hợp bởi mặt bên và đáy bằng $60^0$. Gọi O là tâm của tam giác ABC. Trong tam giác SAO dựng đường trung trực của cạnh SA, cắt SO tại K.

a) Tính SO, SA.

b) Chứng minh $△SMK\sim △SOA$ ( với M là trung điểm của SA). Suy ra KS.

c) Chứng minh hình chóp K.ABC là hình chóp đều. suy ra: KA = KB +KC.

d) Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.

Cho hình chóp $S.ABC$ có cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy, tam giác $ABC$ vuông cân tại $B$. Biết $SB=a\sqrt{3}$. Khi đó: