Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang vuông tại $A$ và $B$, $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy. Cho biết $AB=BC=a$, $AD=2a$, góc giữa $SB$ và mặt phẳng $(ABCD)$ bằng $60^{\circ }$.

a) Tính thể tích khối chóp $S.ABCD$.

b) Gọi $O$ là giao điểm $AC$ và $BD$. Tính khoảng cách từ $O$ đến mặt phẳng $(SCD)$.

a)



$$S_{ABCD}=\frac{(BC+AD)AB}{2}=\frac{3a^2}{2}$$
$AB$ là hình chiếu vuông góc của $SB$ lên mp $(ABCD)$.
Suy ra góc giữa $SB$ và $(ABCD)$ là góc $SBA$.
$$\Rightarrow SA=AB.\tan 60^{\circ }=\sqrt{3}a$$
$$\Rightarrow V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}SA.S_{ABCD}=\frac{1}{3}a\sqrt{3}.\frac{3}{2}{a}^2=\frac{\sqrt{3}}{2}{a}^3.$$
(Học sinh tính được diện tích đáy hoặc chiều cao hình chóp cho 0,25đ)

b) Gọi $M$ là trung điểm $AD$; $N$ là giao điểm $BD$ và $CM$; $I$ là giao điểm $AC$ và $BM$.
Từ giả thiết suy ra tứ giác $ABCM$ là hình vuông, tứ giác $BCDM$ là hình bình hành.
Nên $N$ là trung điểm của $MC$, $I$ là trung điểm $BM$.
Do đó, $O$ là trọng tâm tam giác $BCM$.
$$\Rightarrow OC=\frac{2}{3}CI=\frac{1}{3}AC\Rightarrow d\left(O,(SCD)\right)=\frac{1}{3}d\left(A,(SCD)\right)$$
Hạ $AH\perp SC$ tại H (1)
Ta có $CM=AB=\frac{AD}{2}\Rightarrow AC\perp CD$
$$CD\perp SA$$
$$\Rightarrow CD\perp (SAC)\Rightarrow CD\perp AH(2)$$
Từ (1), (2) suy ra $AH\perp (SCD)$ tại H
$$\Rightarrow d(A,(SCD))=AH.$$
$$AH.SC=SA.AC\Rightarrow AH=\frac{SA.AC}{SC}=\frac{SA.AC}{\sqrt{S{A}^2+A{C}^2}}=\frac{a\sqrt{3}.a\sqrt{2}}{\sqrt{3a^2+2a^2}}=\frac{a\sqrt{30}}{5}$$
Vì vậy, $d(O,(SCD))=\frac{a\sqrt{30}}{15}$.
(Học sinh tính được khoảng cách từ A đến mp(SCD) cho 0,25đ)

Lưu ý: Học sinh có thể làm bài theo phương pháp giải khác có kết quả đúng thì vẫn được đánh giá điểm tương đương cho phần nội dung trả lời đó.