Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật với $BC=a$, tam giác $SAB$ là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi $M$ là trung điểm của $AB$, $I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABCD$. Biết góc giữa $IM$ và mặt phẳng $(SAB)$ bằng $60^{\circ }$. Tính thể tích khối chóp $S.ABCD$.

Chọn C.
Gọi $O=AC\cap BD$, $G$ là trọng tâm tam giác đều $SAB$.
Vì $(SAB)\perp (ABCD)$ và $△SAB$ đều nên $SM\perp (ABCD)$ và $OM\perp (SAB)$.
Tâm mặt cầu ngoại tiếp $I$ có hình chiếu lên $(ABCD)$ là $O$, lên $(SAB)$ là $G$.
Do $IG\perp (SAB)$ nên $GM$ là hình chiếu của $IM$ lên $(SAB)$, suy ra $\widehat{IMG}=60^{\circ }$.
Ta có $GI=MO=\frac{BC}{2}=\frac{a}{2}$.
Trong tam giác vuông $IGM$: $GM=\frac{GI}{\tan 60^{\circ }}=\frac{a}{2\sqrt{3}}=\frac{a\sqrt{3}}{6}$.
Mặt khác, $G$ là trọng tâm $△SAB$ nên $GM=\frac{1}{3}SM\Rightarrow SM=3GM=\frac{a\sqrt{3}}{2}$.
Vì $△SAB$ đều nên chiều cao $SM=\frac{AB\sqrt{3}}{2}\Rightarrow AB=a$.
Diện tích đáy $S_{ABCD}=AB\cdot BC=a\cdot a=a^2$.
Thể tích khối chóp là $V=\frac{1}{3}{S}_{ABCD}\cdot SM=\frac{1}{3}{a}^2\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a^3\sqrt{3}}{6}$.