Câu 2: Cho khối lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có đáy là tam giác đều cạnh $a$, hình chiếu vuông góc của điểm $A^{\prime }$ lên mặt phẳng $(ABC)$ trùng với trọng tâm của tam giác $ABC$. Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng $A{A}^{\prime }$ và $BC$ bằng $\frac{a\sqrt{3}}{4}$, thể tích khối chóp $A^{\prime }.ABC$ bằng $\frac{a^3\sqrt{m}}{n}$ ($m,n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ và $m$ là số nguyên tố). Tính $m+n$.