Cho hàm số $y=\frac{1}{3}{x}^3-m{x}^2+(3-2m)x$ với $m$ là tham số thực. Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị của $m$ để hàm số nghịch biến trên một khoảng có độ dài đúng bằng $2\sqrt{5}$. Tính tổng các phần tử của $S$.

Chọn B.
Ta có $y^{\prime }=x^2-2mx+3-2m$.
Hàm số nghịch biến trên một khoảng có độ dài bằng $2\sqrt{5}$ khi và chỉ khi phương trình $y^{\prime }=0$ có 2 nghiệm phân biệt $x_1,x_2$ thỏa mãn $|x_1-x_2|=2\sqrt{5}$.
Điều kiện 2 nghiệm phân biệt: ${\Delta }^{\prime }=m^2-(3-2m)=m^2+2m-3>0\iff m>1$ hoặc $m<-3$.
Theo định lý Vi-ét: $x_1+x_2=2m$ và $x_1{x}_2=3-2m$.
Ta có:
$|x_1-x_2{|}^2=(x_1+x_2{)}^2-4x_1{x}_2=(2m{)}^2-4(3-2m)=4m^2+8m-12=(2\sqrt{5}{)}^2=20$.
$\iff 4m^2+8m-32=0\iff m^2+2m-8=0\iff m=2$ hoặc $m=-4$.
Cả hai giá trị đều thỏa mãn điều kiện ${\Delta }^{\prime }>0$.
Vậy $S=\{-4;2\}$, tổng các phần tử của $S$ là $-4+2=-2$.