Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $C$, $SA=AB=2$. Cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy $(ABC)$. Gọi $H,K$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $A$ lên $SB$ và $SC$. Tính thể tích lớn nhất $V_{\max }$ của khối chóp $S.AHK$.

Câu 1. Thường niên, Giải thưởng Văn phòng phẩm Nhật Bản lại được tổ chức để vinh danh các thiết kế xuất sắc nhất. Một chuỗi cửa hàng văn phòng phẩm đã gửi một sản phẩm để tham gia cuộc thi. Sản phẩm dự thi là một loại gọt bút chì có hình ảnh ngọn núi Phú Sĩ (được minh họa bởi **Hình 1**) với hình dạng tổng thể là một hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có cạnh đáy và chiều cao đều bằng $6\text{ cm}$. Chiếc gọt bút chì gồm ba phần (quan sát **Hình 2, Hình 3**):

- **Phần nắp:** là hình chóp đều $S.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ với đáy $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ nằm trong mặt phẳng song song với mặt phẳng $(ABCD)$. Chiều cao của phần nắp bằng $\frac{1}{3}$ chiều cao của gọt bút chì.
- **Phần thân:** là hình chóp cụt đều $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ với chiều cao bằng $\frac{2}{3}$ chiều cao của gọt bút chì, được gắn với phần nắp bởi một khớp nối. Ở trạng thái đóng, phần thân và phần nắp của chiếc gọt bút chì coi như khít nhau hoàn toàn.
- **Phần lõi gọt:** là phần chứa lưỡi dao gọt bút chì, có dạng một hình nón, được khoét ở phía trong của phần thân của chiếc gọt bút chì. Đáy của hình nón này là đường tròn có bán kính bằng $0,6\text{ cm}$, có tâm trùng với tâm của hình vuông $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Đỉnh $T$ của hình nón nằm trên đoạn thẳng nối hai tâm của hình chóp cụt đều $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Chiều cao của phần lõi gọt bằng $\frac{1}{2}$ chiều cao của phần thân của chiếc gọt bút chì.

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$, $SA=3a$ và $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy. Thể tích khối chóp $S.ABCD$ bằng:

Câu 12. Nếu khối lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có thể tích bằng $60$ thì khối chóp $A^{\prime }.ABC$ có thể tích bằng

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $B,AC=a,SA\perp (ABC)$ và $SB$ hợp với mặt đáy một góc $60^{\circ }$. Thể tích khối chóp $S.ABC$ bằng

Tính thể tích $V$ của khối chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng $a$, cạnh bên bằng $a\sqrt{3}$.

Cho hình chóp $S.ABC$ có các mặt bên $(SAB),(SAC),(SBC)$ tạo với đáy các góc bằng nhau và bằng $60^{\circ }$. Biết $AB=7,BC=8,AC=9$. Thể tích khối chóp $S.ABC$ bằng