Cho hình chóp $S.ABCD$ có cạnh bên $SB$ vuông góc với mặt đáy và $ABCD$ là hình chữ nhật. Biết $SB=2a$, $AB=3a$, $BC=4a$ và gọi $\alpha$ là góc giữa mặt phẳng $(SAC)$ và mặt đáy. Tính giá trị $\tan \alpha$ (làm tròn đến hàng phần trăm).

Một hộp quà có dạng khối hộp chữ nhật $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có đáy là hình vuông, $BD=2$ dm, số đo của góc phẳng nhị diện của góc nhị diện $[A^{\prime },BD,A]$ bằng $30^{\circ }$. Nếu các mặt của vỏ hộp quà có độ dày bằng nhau và bằng 0,6 cm thì phần bên trong của hộp quà đó có thể tích bằng bao nhiêu cm${}^3$ (kết quả được làm tròn đến hàng đơn vị)?

Một chiếc lều trại có dạng hình chóp tứ giác đều có độ dài cạnh đáy là 3,2m. Người ta thiết kế khung lều sao cho góc nhị diện tạo bởi mặt bên và mặt đáy là $56^0$. Phía dưới đỉnh chóp lều treo một cái đèn chiếu sáng bên trong, sao cho điểm thấp nhất của đèn cách đỉnh chóp một khoảng 30 cm. Hỏi khoảng cách từ vị trí thấp nhất của đèn đến mặt đáy lều là bao nhiêu mét? (Kết quả làm tròn đến hàng phần mười).

Một chiếc lều trại có dạng hình chóp tứ giác đều có độ dài cạnh đáy là 3,4m. Người ta thiết kế khung lều sao cho góc nhị diện tạo bởi mặt bên và mặt đáy là $56^0$. Phía dưới đỉnh chóp lều treo một cái đèn chiếu sáng bên trong, sao cho điểm thấp nhất của đèn cách đỉnh chóp một khoảng 30 cm. Hỏi khoảng cách từ vị trí thấp nhất của đèn đến mặt đáy lều là bao nhiêu mét? (Kết quả làm tròn đến hàng phần mười).

Câu 4 (4,0 điểm).
1) Cho tứ diện $ABCD$ có $AB$ vuông góc với $CD$, $AB=CD=6$. $M$ là điểm thuộc cạnh $BC$ sao cho $MC=xBC(0<x<1)$. Mặt phẳng $(P)$ song song với $AB$ và $CD$ lần lượt cắt $BC,DB,AD,AC$ tại $M,N,P,Q$. Diện tích lớn nhất của tứ giác $MNPQ$ bằng bao nhiêu?
2) Cho khối chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, $AB=a$, $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy và $SA=a$. Góc giữa hai mặt phẳng $(SBC)$ và $(SCD)$ bằng $\phi$, với $\cos \phi =\frac{1}{\sqrt{3}}$. Tính thể tích của khối chóp $S.ABCD$.

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật. Cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt đáy, biết $SA=AB=3a$, $BC=4a$. Tính sin góc nhị diện $[S,BD,A]$ (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Một công trình viện bảo tàng có dạng hình chóp đều $S.ABCD$, biết cạnh đáy bằng 180m, khoảng cách từ đỉnh đến cạnh đáy bằng 133m.





a) Tính số đo góc nhị diện tạo bởi hai mặt bên có chung bờ là một cạnh bên của hình chóp.
b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau $SA$ và $BC$.