Cho hàm số $y=f(x)$ xác định và liên tục trên $\mathbb{R}$, có đồ thị $f^{\prime }(x)$ như hình vẽ.



Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của $m\in (-20;20)$ để hàm số $g(x)=f\left(\frac{x^3}{4}\right)-\frac{m{\left(x^2+4\right)}^2}{20}$ đồng biến trên khoảng $(0;+\infty )$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, $f^{\prime }(x)$ đạt giá trị nhỏ nhất bằng $-3$ tại $x=2$ (đường giằng $(2;-3)$), tức $f^{\prime }(t)\ge -3$ với mọi $t$.

Ta có $g^{\prime }(x)=\frac{3x^2}{4}{f}^{\prime }\left(\frac{x^3}{4}\right)-\frac{4mx(x^2+4)}{20}=x\left[\frac{3x}{4}{f}^{\prime }\left(\frac{x^3}{4}\right)-\frac{m(x^2+4)}{5}\right]$.

Với $x>0$, $g$ đồng biến trên $(0;+\infty )$ khi và chỉ khi $m\le \frac{15x}{4}\cdot \frac{f^{\prime }(x^3/4)}{x^2+4}$ với mọi $x>0$. Đặt $t=\frac{x^3}{4}\in (0;+\infty )$, điều kiện trở thành $m\le \phi (t)=f^{\prime }(t)\psi (t)$ với mọi $t>0$, với $\psi (t)=\frac{15}{4}\cdot \frac{4^{1/3}{t}^{1/3}}{4+4^{2/3}{t}^{2/3}}$.

Đặt $u=t^{1/3}$, hàm $\frac{u}{4+4^{2/3}{u}^2}$ đạt max khi $4=4^{2/3}{u}^2\Rightarrow u^2=4^{1/3}$, tức $t=2$, và ${\psi }_{\max }=\frac{15}{4}\cdot \frac{4^{1/3}\cdot 4^{1/6}}{4+4}=\frac{15}{4}\cdot \frac{2}{8}=\frac{15}{16}<1$.

Vì $f^{\prime }(t)\ge -3$: khi $f^{\prime }(t)<0$ thì $\phi (t)\ge -3\cdot \frac{15}{16}=-\frac{45}{16}$; khi $f^{\prime }(t)\ge 0$ thì $\phi (t)\ge 0$. Tại $t=2$: $\phi (2)=-3\cdot \frac{15}{16}=-\frac{45}{16}$. Vậy ${\min }_{t>0}\phi (t)=-\frac{45}{16}$.

Do đó $m\le -\frac{45}{16}\approx -2,81$. Các giá trị nguyên âm của $m\in (-20;20)$ thỏa mãn: $m\in \{-19,-18,\dots ,-3\}$, gồm $17$ giá trị.

Đáp án A.