Cho hàm số $y=\frac{x^2-3x+6}{x-1}$.

a) Đúng. TXD: $D=\mathbb{R}\setminus \{1\}$. $y^{\prime }=\frac{x^2-2x-3}{(x-1{)}^2}$; $y^{\prime }=0\iff x=-1$ hoặc $x=3$. Bảng biến thiên: Tọa độ điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là $(3;3)$, khi đó $3^2+3=12$.
b) Đúng. Ta có $y=x-2+\frac{4}{x-1}$. Vì $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left[y-(x-2)\right]=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{4}{x-1}=0$; $\underset{x\to -\infty }{\lim }\left[y-(x-2)\right]=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{4}{x-1}=0$ nên đồ thị hàm số có đường tiệm cận xiên $y=x-2$.
c) Sai. Vì $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }y=+\infty$; $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }y=-\infty$ nên đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng $x=1$. Giao điểm của 2 đường tiệm cận là $I(1;-1)$. Gọi $M(2;4)\in (C)$, khi đó phương trình tiếp tuyến $d$ tại $M$: $y=-3(x-2)+4=-3x+10$. $d$ cắt hai đường tiệm cận tại $A(1;7)$, $B(3;1)$. Diện tích tam giác $IAB$ là $S=\frac{1}{2}IA\cdot d\left(B;IA\right)=\frac{1}{2}\cdot 8\cdot 2=8$.
d) Đúng. Ta có bảng biến thiên Để phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1;x_2$ thỏa mãn $x_1<2<x_2<15$ thì $4<m<\frac{93}{7}$. Mà $m$ nguyên nên $m\in \{5;6;...;13\}$. Có tất cả 9 giá trị nguyên của tham số $m$.
a) Đúng. TXD: $D=\mathbb{R}\setminus \{1\}$. $y^{\prime }=\frac{x^2-2x-3}{(x-1{)}^2}$; $y^{\prime }=0\iff x=-1$ hoặc $x=3$. Bảng biến thiên của hàm số $y=\frac{x^2-3x+6}{x-1}$: Tọa độ điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là $(3;3)$. Khi đó ta có $3^2+3=12$.
b) Đúng. Ta có $y=x-2+\frac{4}{x-1}$. Vì $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left[y-(x-2)\right]=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{4}{x-1}=0$; $\underset{x\to -\infty }{\lim }\left[y-(x-2)\right]=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{4}{x-1}=0$ nên đồ thị hàm số có đường tiệm cận xiên $y=x-2$.
c) Sai. Vì $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }y=+\infty$; $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }y=-\infty$ nên đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng $x=1$. Giao điểm của 2 đường tiệm cận là $I(1;-1)$. Gọi $M(2;4)\in (C)$, khi đó phương trình tiếp tuyến $d$ tại $M$ có dạng: $y=-3(x-2)+4=-3x+10$. $d$ cắt hai đường tiệm cận tại $A(1;7)$, $B(3;1)$. Diện tích tam giác $IAB$ là $S=\frac{1}{2}IA\cdot d\left(B;IA\right)=\frac{1}{2}\cdot 8\cdot 2=8$.
d) Đúng. Ta có bảng biến thiên Để phương trình $\frac{x^2-3x+6}{x-1}=m$ có hai nghiệm phân biệt $x_1;x_2$ thỏa mãn $x_1<2<x_2<15$ thì $4<m<\frac{93}{7}$. Mà $m$ nguyên nên $m\in \{5;6;...;13\}$. Có tất cả 9 giá trị nguyên của tham số $m$.