Trong không gian Oxyz, cho hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có $A(0;0;0)$, $B(3;0;0)$, $D(0;3;0)$, $D^{\prime }(0;3;-3)$. Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $B^{\prime }B{D}^{\prime }$.

Do $A\equiv O$, $B\in Ox$, $D\in Oy$ nên $ABCD$ là hình chữ nhật. $\overrightarrow{D{D}^{\prime }}=(0;0;-3)$, $\overrightarrow{AB}=(3;0;0)$, $\overrightarrow{AD}=(0;3;0)$ $\Rightarrow \overrightarrow{D{D}^{\prime }}\cdot \overrightarrow{AB}=0$; $\overrightarrow{D{D}^{\prime }}\cdot \overrightarrow{AD}=0\Rightarrow D{D}^{\prime }\perp AB$, $D{D}^{\prime }\perp AD\Rightarrow D{D}^{\prime }\perp (ABCD)$. Suy ra hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ là hình hộp chữ nhật.
a) Sai. Ta có $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\Rightarrow \overrightarrow{AC}=(3;3;0)\Rightarrow C(3;3;0)$.
b) Đúng. Giả sử $B^{\prime }(a;b;c)\Rightarrow \overrightarrow{B{B}^{\prime }}=(a-3;b;c)$, do $\overrightarrow{B{B}^{\prime }}=\overrightarrow{D{D}^{\prime }}\Rightarrow \{\begin{array}{l}a-3=0\\ b=0\\ c=-3\end{array}\Rightarrow B^{\prime }(3;0;-3)$. Giả sử $G(x;y;z)$, do $G$ là trọng tâm của tam giác $B^{\prime }B{D}^{\prime }\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=\frac{3+3+0}{3}=2\\ y=\frac{0+0+3}{3}=1\\ z=\frac{-3+0-3}{3}=-2\end{array}\Rightarrow G(2;1;-2)$.
c) Sai. Ta có $A^{\prime }{B}^{\prime }\perp (BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })\Rightarrow A^{\prime }{B}^{\prime }\perp B^{\prime }C\Rightarrow △A^{\prime }{B}^{\prime }C$ vuông tại $B^{\prime }$. $A^{\prime }{B}^{\prime }=AB=3$; $B^{\prime }C=3\sqrt{2}\Rightarrow S_{△A^{\prime }{B}^{\prime }C}=\frac{1}{2}{A}^{\prime }{B}^{\prime }\cdot B^{\prime }C=\frac{9\sqrt{2}}{2}$.
d) Sai. $\overrightarrow{AC}=(3;3;0)$, $\overrightarrow{B^{\prime }G}=(-1;1;1)\Rightarrow \overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{B^{\prime }G}=0\Rightarrow AC\perp B^{\prime }G$. Vậy góc giữa $AC$ và $B^{\prime }G$ bằng $90^{\circ }$.
a) Sai. Ta có $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\Rightarrow \overrightarrow{AC}=(3;3;0)\Rightarrow C(3;3;0)$, không phải $C(-3;-3;0)$.
b) Đúng. Giả sử $B^{\prime }(a;b;c)\Rightarrow \overrightarrow{B{B}^{\prime }}=(a-3;b;c)$, do $\overrightarrow{B{B}^{\prime }}=\overrightarrow{D{D}^{\prime }}\Rightarrow \{\begin{array}{l}a-3=0\\ b=0\\ c=-3\end{array}\Rightarrow B^{\prime }(3;0;-3)$. Giả sử $G(x;y;z)$, do $G$ là trọng tâm của tam giác $B^{\prime }B{D}^{\prime }\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=\frac{3+3+0}{3}=2\\ y=\frac{0+0+3}{3}=1\\ z=\frac{-3+0-3}{3}=-2\end{array}\Rightarrow G(2;1;-2)$.
c) Sai. Ta có $A^{\prime }{B}^{\prime }\perp (BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })\Rightarrow A^{\prime }{B}^{\prime }\perp B^{\prime }C\Rightarrow △A^{\prime }{B}^{\prime }C$ vuông tại $B^{\prime }$. $A^{\prime }{B}^{\prime }=AB=3$; $B^{\prime }C=3\sqrt{2}\Rightarrow S_{△A^{\prime }{B}^{\prime }C}=\frac{1}{2}{A}^{\prime }{B}^{\prime }\cdot B^{\prime }C=\frac{9\sqrt{2}}{2}$.
d) Sai. $\overrightarrow{AC}=(3;3;0)$, $\overrightarrow{B^{\prime }G}=(-1;1;1)\Rightarrow \overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{B^{\prime }G}=0\Rightarrow AC\perp B^{\prime }G$. Vậy góc giữa $AC$ và $B^{\prime }G$ bằng $90^{\circ }$.