Mực nước $h$ (đơn vị: mét) tại một cảng biển sau $t$ giờ tính từ thời điểm nửa đêm được xác định bởi công thức: $h(t)=4\cos \left(\frac{\pi t}{6}+\frac{\pi }{3}\right)+10$ với $(0\le t\le 24)$.

a) Sai. Tại thời điểm nửa đêm $t=0$, mực nước tại cảng là: $h(0)=4\cos \left(\frac{\pi \cdot 0}{6}+\frac{\pi }{3}\right)+10=12$ (mét).
b) Đúng. Tốc độ biến thiên của mực nước tại thời điểm $t$ là $h^{\prime }(t)=4\cdot \frac{\pi }{6}\cdot \left(-\sin \left(\frac{\pi t}{6}+\frac{\pi }{3}\right)\right)=-\frac{2\pi }{3}\sin \left(\frac{\pi t}{6}+\frac{\pi }{3}\right)$.
c) Đúng. Ta có: $h(t)\ge 4\cdot (-1)+10=6$. Dấu đẳng thức xảy ra khi $\cos \left(\frac{\pi t}{6}+\frac{\pi }{3}\right)=-1\iff t=4+12k$ (với $k\in \mathbb{Z}$). Mà $0\le t\le 24$, suy ra $k=0$ hoặc $k=1$, tức $t=4$ giờ và $t=16$ giờ. Vậy mực nước thấp là 6 mét tại hai thời điểm $t_1=4$ giờ và $t_2=16$ giờ.
d) Đúng. $h^{\prime }(t)=0\iff \sin \left(\frac{\pi t}{6}+\frac{\pi }{3}\right)=0\iff t=-2+6k$ (với $k\in \mathbb{Z}$). Mà $t\in [0;6]$, suy ra $k=1$, khi đó $t=4$. Vậy phương trình $h^{\prime }(t)=0$ có một nghiệm trên đoạn $[0;6]$ là $t=4$.
a) Sai. Tại thời điểm nửa đêm $t=0$, mực nước tại cảng là: $h(0)=4\cos \left(\frac{\pi \cdot 0}{6}+\frac{\pi }{3}\right)+10=12$ (mét).
b) Đúng. Tốc độ biến thiên của mực nước tại thời điểm $t$ là $h^{\prime }(t)=4\cdot \frac{\pi }{6}\cdot \left(-\sin \left(\frac{\pi t}{6}+\frac{\pi }{3}\right)\right)=-\frac{2\pi }{3}\sin \left(\frac{\pi t}{6}+\frac{\pi }{3}\right)$.
c) Đúng. Ta có: $h(t)=4\cos \left(\frac{\pi t}{6}+\frac{\pi }{3}\right)+10\ge 4\cdot (-1)+10=6$. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $\cos \left(\frac{\pi t}{6}+\frac{\pi }{3}\right)=-1\iff \frac{\pi t}{6}+\frac{\pi }{3}=\pi +k\cdot 2\pi \iff t=4+12k$ (với $k\in \mathbb{Z}$). Mà $0\le t\le 24$, suy ra $k=0$ hoặc $k=1$. Với $k=0$: $t=4$ (giờ); với $k=1$: $t=16$ (giờ). Vậy mực nước thấp là 6 mét tại thời điểm $t_1=4$ giờ và $t_2=16$ giờ.
d) Đúng. Ta có: $h^{\prime }(t)=0\iff -\frac{2\pi }{3}\sin \left(\frac{\pi t}{6}+\frac{\pi }{3}\right)=0\iff \sin \left(\frac{\pi t}{6}+\frac{\pi }{3}\right)=0\iff \frac{\pi t}{6}+\frac{\pi }{3}=k\pi \iff t=-2+6k$ (với $k\in \mathbb{Z}$). Mà $t\in [0;6]$, suy ra $0\le -2+6k\le 6\Rightarrow k=1$. Với $k=1$: $t=-2+6\cdot 1=4$. Vậy phương trình $h^{\prime }(t)=0$ có một nghiệm trên đoạn $[0;6]$ là $t=4$.