Cho hàm số $y=g(x)=\ln \frac{(x-2{)}^2(x+5)}{(x-4)(x+1)}$. Hỏi đồ thị hàm số có bao nhiêu đường tiệm cận (chỉ xét tiệm cận đứng và tiệm cận ngang)?

Đáp số: 3. Điều kiện xác định: $\frac{(x-2{)}^2(x+5)}{(x-4)(x+1)}>0\iff \left[\begin{array}{c}-5<x<-1\\ x>4\end{array}\right]$. Vậy tập xác định $D=(-5;-1)\cup (4;+\infty )$.
- Trước hết ta tìm tiệm cận đứng: Ta biết với $a>1$ thì ${\lim }_{x\to 0^{+}}{\log }_{a}x=-\infty$; ${\lim }_{x\to +\infty }{\log }_{a}x=+\infty$. Đặt $f(x)=\frac{(x-2{)}^2(x+5)}{(x-4)(x+1)}$. Ta xét các giá trị của x để $f(x)\to 0^{+}$; $f(x)\to +\infty$.
+ Xét $x\to -5^{+}\Rightarrow f(x)\to 0^{+}$. Do đó ${\lim }_{x\to -5^{+}}\ln f(x)=-\infty$; Vậy $x=-5$ là một đường tiệm cận đứng của đồ thị.
+ Xét $x\to -1^{-}\Rightarrow f(x)\to +\infty$. Do đó ${\lim }_{x\to -1^{-}}\ln f(x)=+\infty$; Vậy $x=-1$ là một đường tiệm cận đứng của đồ thị.
+ Xét $x\to 4^{+}\Rightarrow f(x)\to +\infty$. Do đó $\underset{x\to 4^{+}}{\lim }\ln f(x)=+\infty$; Vậy $x=4$ là một đường tiệm cận đứng của đồ thị.
Vậy đồ thị đã cho có 3 đường tiệm cận đứng.
- Xét $x\to +\infty \Rightarrow f(x)\to +\infty$ nên $\underset{x\to +\infty }{\lim }\ln f(x)=+\infty$; Vậy đồ thị hàm số đã cho không có tiệm cận ngang.