Cho hàm số $y=\frac{m{x}^2+(m+2)x+5}{x^2+1}$. Gọi $S$ là tập hợp các giá trị của $m$ sao cho đồ thị hàm số đã cho có đúng hai điểm cực trị và đường thẳng nối hai điểm cực trị của đồ thị hàm số cắt hai trục tọa độ tạo thành một tam giác có diện tích bằng $\frac{25}{4}$. Tính tổng các phần tử của $S$.

Chọn C.
Ta có: $y=m+\frac{(m+2)x+5-m}{x^2+1}$.
Đạo hàm:
$y^{\prime }=\frac{-(m+2)x^2+2(m-5)x+m+2}{(x^2+1{)}^2}.$
Để đồ thị hàm số có đúng 2 điểm cực trị thì phương trình $g(x)=-(m+2)x^2+2(m-5)x+m+2=0$ phải có 2 nghiệm phân biệt, tức là $m\ne -2$ và ${\Delta }^{\prime }=(m-5{)}^2+(m+2{)}^2>0$ (luôn đúng).
Khi đó, đường thẳng đi qua hai điểm cực trị có phương trình thu được từ đạo hàm tử chia đạo hàm mẫu:
$y=\frac{(m+2)}{2}+\frac{m-5}{2x}\Rightarrow d:y=\frac{m+2}{2}x+\dots$
Cắt hai trục tọa độ tại $A,B$ tạo thành tam giác vuông $OAB$ có diện tích $S_{\Delta OAB}=\frac{1}{2}OA\cdot OB=\frac{25}{4}$.
Giải phương trình tìm $m$ suy ra các giá trị của $m$, tổng các phần tử của $S$ bằng $-4$.