Cho khối chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$, hai mặt phẳng $(SAB),(SAD)$ cùng vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết thể tích khối chóp $S.ABCD$ là $\frac{a^3}{3}$. Tính góc $\phi$ giữa đường thẳng $SB$ và mặt phẳng $(SCD)$.

Chọn C.
Vì $(SAB)\perp (ABCD)$ và $(SAD)\perp (ABCD)$ mà $(SAB)\cap (SAD)=SA$ nên $SA\perp (ABCD)$.
Thể tích $V=\frac{1}{3}{S}_{ABCD}\cdot SA=\frac{1}{3}{a}^2\cdot SA=\frac{a^3}{3}\Rightarrow SA=a$.
Vì $AB\parallel CD$ nên $AB\parallel (SCD)$, do đó $d(B,(SCD))=d(A,(SCD))$.
Kẻ $AK\perp SD$ tại $K$. Vì $CD\perp AD$ và $CD\perp SA\Rightarrow CD\perp (SAD)\Rightarrow CD\perp AK$.
Do đó $AK\perp (SCD)$, suy ra $d(A,(SCD))=AK=\frac{SA\cdot AD}{\sqrt{S{A}^2+A{D}^2}}=\frac{a\cdot a}{a\sqrt{2}}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$.
Lại có $SB=\sqrt{S{A}^2+A{B}^2}=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt{2}$.
Gọi $\phi$ là góc giữa $SB$ và $(SCD)$, ta có:
$\sin \phi =\frac{d(B,(SCD))}{SB}=\frac{\frac{a\sqrt{2}}{2}}{a\sqrt{2}}=\frac{1}{2}\Rightarrow \phi =30^{\circ }.$