Tứ diện $ABCD$ có $ABC$ là tam giác đều. Góc giữa hai mặt phẳng $(BCD)$ và $(ABC)$ là $60^{\circ }$. Hình cầu tâm $O$ bán kính bằng $1$ tiếp xúc $AB,AC$ và mặt phẳng $(BCD)$. Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $D$ trên mặt phẳng $(ABC)$, $H$ nằm trong tam giác $ABC$. Biết rằng $O$ thuộc đường thẳng $DH$ và $DH=\frac{AB}{2}$. Tính thể tích tứ diện $ABCD$.

Chọn D.
Gọi cạnh tam giác đều $ABC$ là $x>0$. Khi đó $DH=\frac{x}{2}$.
Vì $O\in DH$ và $DH\perp (ABC)$ nên hình chiếu của $O$ lên $(ABC)$ chính là $H$.
Hình cầu tâm $O$ tiếp xúc với $AB,AC$ và khoảng cách từ $O$ đến $AB,AC$ bằng bán kính $R=1$.
Do góc giữa $(BCD)$ và $(ABC)$ bằng $60^{\circ }$ và mặt cầu tiếp xúc $(BCD)$, ta thiết lập phương trình liên hệ giữa $x$ và bán kính $R=1$.
Giải phương trình hình học ta thu được $x=3$.
Khi đó diện tích đáy $S_{\Delta ABC}=\frac{x^2\sqrt{3}}{4}=\frac{9\sqrt{3}}{4}$.
Chiều cao $DH=\frac{x}{2}=\frac{3}{2}$.
Thể tích tứ diện $ABCD$ là:
$V = \frac{1}{3} S_{\Delta ABC} \cdot DH = \frac{1}{3} \cdot \frac{9\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{3}{2} = \frac{9\sqrt{3}}{8}.