Câu 50THPTChuyên đề: Phương trình tâm và bán kính mặt cầu • Lớp 12Lập phương trình mặt phẳngTọa độ điểm và chia đoạn OxyzVận dụng cao#Toán 12#Thi thử THPT
Trong không gian với hệ tọa độ , cho điểm . Một mặt cầu bất kỳ đi qua và cắt các trục tọa độ lần lượt tại . Biết rằng khi mặt cầu thay đổi nhưng vẫn thỏa đề bài, trọng tâm của tam giác luôn nằm trên một mặt phẳng cố định. Mặt phẳng cố định này chắn các trục tọa độ thành một tứ diện, tính thể tích của khối tứ diện đó.
Trong không gian với hệ tọa độ , cho điểm . Một mặt cầu bất kỳ đi qua và cắt các trục tọa độ lần lượt tại . Biết rằng khi mặt cầu thay đổi nhưng vẫn thỏa đề bài, trọng tâm của tam giác luôn nằm trên một mặt phẳng cố định. Mặt phẳng cố định này chắn các trục tọa độ thành một tứ diện, tính thể tích của khối tứ diện đó.
Chọn một phương án bên dưới để kiểm tra đáp án ngay:
Đáp án chính thức: A
Hướng dẫn giải chi tiết
Chọn A.
Giả sử với .
Mặt cầu đi qua có tâm và bán kính .
Phương trình mặt cầu là: .
Vì nên:
Trọng tâm của có tọa độ .
Thay vào ta được:
Do đó trọng tâm luôn nằm trên mặt phẳng cố định .
Mặt phẳng cắt các trục tọa độ tại:
;
;
.
Thể tích của khối tứ diện chắn bởi trên các trục tọa độ là:
Giả sử với .
Mặt cầu đi qua có tâm và bán kính .
Phương trình mặt cầu là: .
Vì nên:
Trọng tâm của có tọa độ .
Thay vào ta được:
Do đó trọng tâm luôn nằm trên mặt phẳng cố định .
Mặt phẳng cắt các trục tọa độ tại:
;
;
.
Thể tích của khối tứ diện chắn bởi trên các trục tọa độ là: