Cho hàm số $y=f(x)=x^2+{\int }_0^2(x+u)f(u)du$ có đồ thị $(C)$. Khi đó hình phẳng giới hạn bởi $(C)$, trục tung, tiếp tuyến của $(C)$ tại điểm có hoành độ $x=5$ có diện tích $S$ bằng:

**Chọn D**
2 2 2
Ta có : y =f ( x ) =x 2 + ∫ ( x + u ) f ( u ) du =x 2 + x ∫ f ( u )du + ∫ u. f ( u )du .
0 0 0
2 2
Đặt A = ∫ f ( u )du , B = ∫ u. f ( u )du ta có : y = f ( x ) = x 2 + Ax + B .
0 0
2
2 2 2
 x3 x2  8
A =∫ f ( u )du =∫ f ( x )dx =∫ ( x + Ax + B )dx = + A + Bx  = + 2 A + 2 B
2

0 0 0  3 2 0 3
8
Suy ra : A + 2 B =
− (1).
3
2
2 2 2
 x4 x3 x2  8
B=∫0 u. f ( u )du =∫0 x. f ( x )dx =∫0 ( x + Ax + Bx )dx = + 3
A + B 2
4
 =+ A + 2B
 4 3 2 0 3
8
Suy ra : A+ B =−4 (2).
3
 16 28
Từ (1) và (2) ta có : A =
− ;B =
−
13 39
16 28
f ( x ) =x 2 − x − .
13 39
114 1003
Phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ bằng 5 là=
: y x− .
13 39
5
 2 16 28   114 1003  125
Diện tích cần tìm là : S = ∫  x − 13 x − 39  −  13 x − 39  =
0
3
.