Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R và có đồ thị là đường cong trong hình dưới đây.



Gọi $(H)$ là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f(x)$, trục hoành và các đường thẳng $x=-1$, $x=4$. Chọn đúng hoặc sai cho mỗi ý a), b), c), d).

(AI giải đề cho tôi)
Từ Hình 8: đồ thị $y=f(x)$ cắt trục hoành tại $x=-1$, $x=1$, $x=4$; $f(x)\ge 0$ trên $[-1;1]$ và $f(x)\le 0$ trên $[1;4]$, phần diện tích dưới trục (trên $[1;4]$) lớn hơn phần trên trục (trên $[-1;1]$).

a) ĐÚNG. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị và trục hoành là $S={\int }_{-1}^4|f(x)|dx$.

b) SAI. Vì $f(x)\le 0$ trên $[1;4]$ nên ${\int }_1^{4}f(x)dx<0$, do đó ${\int }_{-1}^{1}f(x)dx+{\int }_1^{4}f(x)dx={\int }_{-1}^{4}f(x)dx\ne S$. Đúng phải là $S={\int }_{-1}^{1}f(x)dx-{\int }_1^{4}f(x)dx$.

c) SAI. Thể tích khối tròn xoay khi quay $(H)$ quanh trục hoành là $V=\pi {\int }_{-1}^4[f(x){]}^{2}dx$; công thức trong ý c) thiếu hệ số $\pi$.

d) ĐÚNG. Với $F$ là nguyên hàm của $f$: $F(1)-F(-1)={\int }_{-1}^{1}f(x)dx>0\Rightarrow F(1)>F(-1)$; $F(4)-F(1)={\int }_1^{4}f(x)dx<0\Rightarrow F(4)<F(1)$; và $F(-1)-F(4)=-{\int }_{-1}^{4}f(x)dx={\int }_1^4|f(x)|dx-{\int }_{-1}^{1}f(x)dx>0$ vì theo hình vẽ diện tích phần dưới trục lớn hơn phần trên trục. Vậy $F(1)>F(-1)>F(4)$.
a) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $y=f(x)$ và trục hoành luôn được tính bằng $S={\int }_{-1}^4|f(x)|dx$, nên ý này ĐÚNG.
b) Từ hình vẽ, $f(x)\ge 0$ trên $[-1;1]$ và $f(x)\le 0$ trên $[1;4]$, nên ${\int }_1^{4}f(x)dx<0$. Do đó ${\int }_{-1}^{1}f(x)dx+{\int }_1^{4}f(x)dx={\int }_{-1}^{4}f(x)dx\ne S$. Đúng phải là $S={\int }_{-1}^{1}f(x)dx-{\int }_1^{4}f(x)dx$. Ý này SAI.
c) Công thức thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay $(H)$ quanh trục hoành là $V=\pi {\int }_{-1}^4[f(x){]}^{2}dx$. Công thức trong ý c) thiếu hệ số $\pi$, nên ý này SAI.
d) Với $F$ là nguyên hàm của $f$: $F(1)-F(-1)={\int }_{-1}^{1}f(x)dx>0$ nên $F(1)>F(-1)$. $F(4)-F(1)={\int }_1^{4}f(x)dx<0$ nên $F(4)<F(1)$. Ngoài ra $F(-1)-F(4)=-{\int }_{-1}^{4}f(x)dx={\int }_1^4|f(x)|dx-{\int }_{-1}^{1}f(x)dx>0$ vì theo hình vẽ diện tích phần dưới trục hoành (từ $x=1$ đến $x=4$) lớn hơn diện tích phần trên trục (từ $x=-1$ đến $x=1$). Vậy $F(1)>F(-1)>F(4)$, ý này ĐÚNG.