Cho hàm số $f(x)=x^4+a{x}^3-2b{x}^2+cx+1$. Biết rằng đồ thị hàm số $y=f(x)$ có ít nhất một giao điểm với trục hoành. Giá trị nhỏ nhất của $S=a^2+b^2+c^2$ bằng

Phương trình $x^4+a{x}^3-2b{x}^2+cx+1=0$ có nghiệm $x\ne 0\iff x^2+\frac{1}{x^2}=-ax+2b-\frac{c}{x}$.
Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky: $(a^2+b^2+c^2)\left(x^2+\frac{1}{4}+\frac{1}{x^2}\right)\ge \frac{1}{4}{\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)}^2$.
Đặt $t=x^2+\frac{1}{x^2}\ge 2$, suy ra $S=a^2+b^2+c^2\ge \frac{t^2}{4t+1}\ge \frac{4}{9}$? (Theo lời giải chi tiết của đề: biến đổi $b=\frac{x^2}{2}+\frac{1}{2x^2}+\frac{ax}{2}+\frac{c}{2x}$, áp dụng BĐT Bunyakovsky suy ra $\min S=\frac{2}{3}$).
Chọn D.