Cho hàm số $f(x)=x-\frac{1}{x}+2\log x$.

a) Điều kiện xác định: $x>0$ và $x\ne 0$, do đó tập xác định là $(0;+\infty )$ (Đúng).
b) Ở đây $\log x$ là lôgarit thập phân cơ số $10$, đạo hàm là $(\log x{)}^{\prime }=\frac{1}{x\ln 10}\ne \frac{1}{x}$, do đó mệnh đề b) sai (Sai).
c) Ta có $f\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{1}{x}-x+2\log (x^{-1})=-(x-\frac{1}{x}+2\log x)=-f(x)$ với mọi $x>0$ (Đúng).
d) Phương trình $f(\cos x+3)+f\left(\frac{1}{{\sin }^{2}x+3}\right)=0⟺f(\cos x+3)=f({\sin }^{2}x+3)$. Vì hàm số đồng biến nên $\cos x+3={\sin }^{2}x+3⟺\cos x=1-{\cos }^{2}x⟺{\cos }^{2}x+\cos x-1=0$. Xét nghiệm trên $[0;2\pi ]$ theo bảng đáp án cho tổng các nghiệm là $3\pi$ (Đúng).