Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$. Biết $f(6)=1$ và ${\int }_0^{1}xf(6x)dx=1$, khi đó ${\int }_0^6{x}^2{f}^{\prime }(x)dx$ bằng

Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $[0;+\infty )$ và thỏa mãn $f(x^3+3x)=5x^2+3x$. Tính tích phân ${\int }_0^4(x+1)f^{\prime }(x)dx$.

Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm $f^{\prime }(x)$ liên tục trên $[0;2]$ và $f(2)=3$, ${\int }_0^{2}f(x)dx=3$. Tính ${\int }_0^{2}x{f}^{\prime }(x)dx$.

Biết $I={\int }_1^2\left(x^2+\ln \frac{2x+3}{x+1}\right)dx=a\ln 7+b\ln 5+c\ln 3+d\ln 2+e$ với $a,b,c,d,e\in \mathbb{Q}$. Tính $S=b+c+d$.

Cho hàm số bậc hai $y=f(x)$ có đồ thị $(P)$ và đường thẳng $d$ cắt $(P)$ tại hai điểm như trong hình vẽ bên. Biết rằng hình phẳng giới hạn bởi $(P)$ và $d$ có diện tích $S=\frac{125}{9}$. Tích phân ${\int }_1^6(2x-5)f^{\prime }(x)\mathrm{d}x$ bằng

Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$. Gọi $F(x),G(x)$ là hai nguyên hàm của $f(x)$ trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $F(1)-3G(1)=4$ và $F(0)-3G(0)=6$. Nếu $f(1)=2$ thì ${\int }_0^{1}x{f}^{\prime }(x)\mathrm{d}x$ bằng

Biết rằng ${\int }_1^{e}x\ln xdx=a{e}^2+b,a,b\in \mathbb{Q}$. Tính $a+b$.