Biết $I={\int }_1^2\left(x^2+\ln \frac{2x+3}{x+1}\right)dx=a\ln 7+b\ln 5+c\ln 3+d\ln 2+e$ với $a,b,c,d,e\in \mathbb{Q}$. Tính $S=b+c+d$.

Nếu ${\int }_{-2}^{0}f(x)dx=1$ thì ${\int }_0^{-2}2f(x)dx$ bằng

Nếu ${\int }_2^{4}f(x)dx=4$ và ${\int }_2^{4}g(x)dx=5$ thì ${\int }_2^4\left[f(x)+g(x)\right]dx$ bằng

Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm liên tục trên đoạn $[0;2]$, $f(0)=1$ và ${\int }_0^2{f}^{\prime }(x)dx=-3$. Giá trị của $f(2)$ bằng

Cho các hàm số $y=f(x)=a{x}^4-x^3+2x+2$ và $y=g(x)=b{x}^3+c{x}^2+2$ với $a,b,c$ là các hệ số thực và có đồ thị như hình vẽ bên.

Gọi $S_1,S_2$ lần lượt là diện tích các hình phẳng được gạch sọc trong hình vẽ bên, biết rằng $S_2=\frac{81}{20}$. Khi đó, giá trị của $S_1$ bằng

Để tạo ra một vật trang trí bông hoa bốn cánh, người ta đã vẽ bốn đường parabol có chung đỉnh tại tâm của hình vuông có cạnh bằng $2\text{ cm}$ (tham khảo hình vẽ bên).

Diện tích cánh hoa của vật trang trí đó gần bằng với kết quả nào sau đây?

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=x^3-4x$, trục hoành và hai đường thẳng $x=0$, $x=3$ bằng