Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm $f^{\prime }(x)$ liên tục trên $[0;2]$ và $f(2)=3$, ${\int }_0^{2}f(x)dx=3$. Tính ${\int }_0^{2}x{f}^{\prime }(x)dx$.

Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$, thỏa mãn ${\int }_{17}^{2026}f(x)dx=8$ và ${\int }_{89}^{2026}f(x)dx=10$. Giá trị của biểu thức ${\int }_{17}^{89}f(x)dx$ bằng:

Để chuẩn bị cho lễ hội, một đơn vị thi công dựng một cổng chào dạng vòm Parabol có chiều cao $4\text{ m}$ và chiều rộng chân cổng là $4\text{ m}$. Ở chính giữa cổng, người ta thiết kế một lối đi hình chữ nhật cao $2\text{ m}$ và rộng $2\text{ m}$. Phần diện tích mặt trước của cổng Parabol (sau khi đã trừ lối đi hình chữ nhật) được chia thành $8$ lớp ngang, mỗi lớp cao $0,5\text{ m}$ để ốp tấm nhôm Alu trang trí có màu khác nhau (như bản vẽ thiết kế hình bên dưới).

Đơn giá thi công lắp tấm nhôm Alu cho cổng được tính như sau:
- Lớp dưới cùng có giá là $400$ nghìn đồng/${\text{m}}^2$.
- Càng lên cao, giá thi công mỗi lớp tiếp theo tăng thêm $50$ nghìn đồng/${\text{m}}^2$ so với lớp ngay dưới nó.
Tính tổng chi phí (đơn vị: nghìn đồng) ốp Alu cho phần diện tích còn lại của cổng sau khi đã loại bỏ lối đi (không làm tròn kết quả các phép toán trung gian, chỉ làm tròn kết quả phép toán cuối cùng đến hàng đơn vị)?

Cho ${\int }_0^{1}f(x)\mathrm{d}x=2$ và ${\int }_1^{6}f(x)\mathrm{d}x=5$, khi đó ${\int }_0^{6}f(x)\mathrm{d}x$ bằng

Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm liên tục trên đoạn $[1;3]$ và thỏa mãn $f(1)=2$ và $f(3)=9$. Tính $I={\int }_1^3{f}^{\prime }(x)\mathrm{d}x$.

Cho tích phân $I={\int }_1^e\frac{3\ln x+1}{x}\mathrm{d}x$. Nếu đặt $t=\ln x$ thì

Cho hàm số $y=f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2+1& \text{khi }x<0\\ e^x& \text{khi }x\ge 0\end{array}$. Biết ${\int }_{-2}^{2}f(x)\mathrm{d}x=a\cdot e^2+b\cdot e+c$ ($a,b,c\in \mathbb{Q}$). Tính tổng $a+b+c$.