Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$. Biết $f(5)=1$ và ${\int }_0^{1}xf(5x)dx=1$. Tính ${\int }_0^5{x}^2{f}^{\prime }(x)dx$.

Cho hàm số $y=f(x)$ là hàm số bậc ba như hình vẽ, đường thẳng $\Delta$ là tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ bằng $-\frac{1}{2}$.


Biết ${\int }_{-\frac{5}{2}}^{-1}x{f}^{\prime \prime }(x+2)dx=\frac{m}{n}$ với $m,n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ và phân số tối giản. Tính $m^2+n$.

Giá trị của ${\int }_1^{2}x{e}^x\mathrm{d}x$ bằng

Biết rằng tích phân ${\int }_0^1(2x+1)e^{x}dx=a+b\cdot e$, tích $ab$ bằng

Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm trên đoạn $[1;e]$ và thỏa mãn $f(1)=0$; $[f^{\prime }(x)-1]x=f(x),\forall x\in [1;e]$. Tích phân ${\int }_1^{e}f(x)dx$ bằng:

Biết ${\int }_2^{e+1}\frac{\ln (x-1)}{(x-1{)}^2}dx=a+b{e}^{-1}$ ($a,b\in \mathbb{Q}$). Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $[1;2]$ và thỏa mãn ${\int }_1^2(x-2{)}^{2}f(x)dx=-\frac{1}{21},f(1)=0,{\int }_1^2[f^{\prime }(x){]}^{2}dx=\frac{1}{7}$. Tính ${\int }_1^{2}xf(x)dx$.