Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm cấp hai liên tục trên đoạn $[0;1]$ và thỏa mãn $f(1)=f(0)$, $f^{\prime }(0)=2022$. Tính tích phân $S={\int }_0^1(1-x)f^{\prime \prime }(x)dx$.

Cho hàm số đa thức $y=f(x)$ có đồ thị là đường cong trong hình bên. Biết diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị $y=f(x)$, $y=xf(x^2)$ và các đường thẳng $x=0$, $x=1$ bằng $\frac{11}{10}$. Tích phân ${\int }_0^{1}x{f}^{\prime }(x)\mathrm{d}x$ bằng

Cho hàm số F ( x ) có đạo hàm liên tục trên đoạn  -1;3 , F ( 3) = 1 và  F ( x ) dx = 6 . Gọi f ( x )
-1
2
là đạo hàm của hàm số F ( x ) trên đoạn  -1;3 . Giá trị của  xf ( 2 x - 1) dx bằng
0

1

Cho ${\int }_0^{1}x\ln (x+2)dx=a\ln 3+b\ln 2+c$, với $a,b,c$ là các số thực. Tính giá trị của biểu thức $T=2a-b+4c$.

Cho hàm số $f(x)$ liên tục và có đạo hàm xác định trên $(0;+\infty )$. Biết rằng $f(x)>0$ với mọi $x\in (0;+\infty )$ thỏa mãn $f(x)(\ln f(x)+1)+x(f^{\prime }(x)-2xf(x))=0$ và $\ln (f(2))-\ln (f(1))=1$. Giá trị tích phân ${\int }_1^{2}xf(x)dx$ nằm trong khoảng nào dưới đây.

Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$. Biết $f(5)=1$ và ${\int }_0^{1}xf(5x)dx=1$. Tính ${\int }_0^5{x}^2{f}^{\prime }(x)dx$.

Cho hàm số $y=f(x)$ là hàm số bậc ba như hình vẽ, đường thẳng $\Delta$ là tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ bằng $-\frac{1}{2}$.


Biết ${\int }_{-\frac{5}{2}}^{-1}x{f}^{\prime \prime }(x+2)dx=\frac{m}{n}$ với $m,n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ và phân số tối giản. Tính $m^2+n$.