Cho hàm số $f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{x-2}{\sqrt{3-x}-1}& \text{khi }x<2\\ -x& \text{khi }x\ge 2\end{array}$. Khẳng định nào dưới đây đúng?

(AI giải đề cho tôi)
Với $x<2$: $f(x)=\frac{x-2}{\sqrt{3-x}-1}$ liên tục trên $(-1;1)$ vì mẫu số $\sqrt{3-x}-1\ne 0$ khi $x<2$ (do $\sqrt{3-x}>1$). Do đó A sai. Tại $x=2$: nhân liên hợp $\frac{x-2}{\sqrt{3-x}-1}=\frac{(x-2)(\sqrt{3-x}+1)}{(3-x)-1}=-(\sqrt{3-x}+1)$, nên ${\lim }_{x\to 2^{-}}f(x)=-(1+1)=-2=f(2)$; hàm liên tục tại $x=2$, nên B sai. Với $x\ge 2$: $f(x)=-x$ liên tục, và trên $(3;5)$ hàm $-x$ liên tục nên D sai. Vậy $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$, đáp án C.