Cho hàm số $f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}$ với $a,b,c,d\in \mathbb{R}$. Biết giá trị lớn nhất của hàm số $y=f(x)$ trên đoạn $[0;2]$ bằng 1. Đồ thị hàm số $y=f^{\prime }(x)$ như hình bên và nhận đường thẳng $x=-1$ làm tiệm cận đứng.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị $y=f^{\prime }(x)$ nhận $x=-1$ làm tiệm cận đứng nên $-c+d=0\Rightarrow d=c$. Khi đó $f^{\prime }(x)=\frac{ad-bc}{(cx+d{)}^2}=\frac{k}{(x+1{)}^2}$ với $k>0$ (đồ thị dương). Từ đồ thị $f^{\prime }(0)=3\Rightarrow k=3$, tức $a-b=3c$ (với $c\ne 0$).
Vì $f^{\prime }(x)>0$ trên mọi khoảng xác định nên $f$ đồng biến trên $(-1;+\infty )$: ý a) Đúng.
GTLN trên $[0;2]$ đạt tại $x=2$: $f(2)=1\Rightarrow 2a+b=3c$. Kết hợp $a-b=3c$ được $b=-c,a=2c$; chọn $c=1$: $f(x)=\frac{2x-1}{x+1}=2-\frac{3}{x+1}$.
Kiểm tra: $f(0)=-1$, $f(2)=1$ (GTLN đúng), $f^{\prime }(x)=\frac{3}{(x+1{)}^2}$, $f^{\prime }(0)=3$ khớp đồ thị.
b) $f(0)=-1\ne 1$: Sai.
c) ${\lim }_{x\to \pm \infty }f(x)=\frac{a}{c}=2$ nên tiệm cận ngang $y=2$: Đúng.
d) $y=2-\frac{3}{x+1}$ nguyên khi $x+1$ là ước của $3$: $x+1\in \{\pm 1,\pm 3\}\Rightarrow x\in \{0,-2,2,-4\}$ với $y\in \{-1,5,1,3\}$, tức 4 điểm nguyên chứ không phải 6: Sai.
Khớp đáp án nguồn: a) Đúng, b) Sai, c) Đúng, d) Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=\frac{3}{(x+1{)}^2}>0$ với mọi $x\ne -1$ nên $f$ đồng biến trên $(-1;+\infty )$. Đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Tìm được $f(x)=\frac{2x-1}{x+1}$, nên $f(0)=-1\ne 1$. Sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
${\lim }_{x\to \pm \infty }f(x)=\frac{a}{c}=2$ nên tiệm cận ngang là $y=2$. Đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$y=2-\frac{3}{x+1}$ nguyên khi $x+1$ là ước của 3: $x\in \{0,-2,2,-4\}$, cho 4 điểm nguyên, không phải 6. Sai.