Đề Thi Học Sinh Giỏi THPT Cấp Thành Phố 2026-2027 - Môn Toán (Phổ Thông)

Tính giới hạn $L={\lim }_{x\to 3}\frac{x^2-9}{x^2-4x+3}$.

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $B$, $AB=a$, $BC=a\sqrt{3}$. Cạnh bên $SA\perp (ABC)$ và $SA=2a$. Thể tích khối chóp $S.ABC$ bằng:

Đạo hàm của hàm số $y=\ln \left(x^2+1\right)$ là:

Trong không gian $Oxy$, cho hai điểm $A(1;2)$ và $B(3;0)$. Tọa độ trung điểm $I$ của đoạn thẳng $AB$ là:

Tập nghiệm $S$ của bất phương trình ${\log }_{0,5}(2x-1)\ge -1$ là:

Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=\frac{2x-5}{3-x}$ là đường thẳng có phương trình:

Số nghiệm của phương trình $\sin 2x=\frac{\sqrt{3}}{2}$ thuộc khoảng $(0;\pi )$ là:

Số điểm cực trị của đồ thị hàm số $y=x^3+3$ là:

Cho cấp số nhân $(u_n)$ có số hạng đầu $u_1=3$ và công bội $q=-2$. Số hạng tổng quát $u_n$ $(n\in {\mathbb{N}}^{\ast })$ được tính bởi công thức nào sau đây?

Chọn ngẫu nhiên 3 học sinh từ một nhóm gồm 5 học sinh nam và 4 học sinh nữ. Tính xác suất để chọn được ít nhất 1 học sinh nữ.

Giá trị lớn nhất của hàm số $f(x)=x^3-3x+5$ trên đoạn $[1;2]$ bằng.

Khảo sát thời gian tập thể dục của một số học sinh khối 12 thu được mẫu số liệu ghép nhóm sau.Trung bình mỗi học sinh tập bao nhiêu phút mỗi ngày?

Một doanh nghiệp kinh doanh một loại sản phẩm $T$ được sản xuất trong nước. Qua nghiên cứu cho thấy rằng nếu chi phí sản xuất mỗi sản phẩm $T$ là $x$ (nghìn đồng) $(3000<x<5000)$ thì số sản phẩm mà doanh nghiệp sản xuất sẽ là $R(x)=x-500$ và số sản phẩm mà doanh nghiệp bán trên thị trường trong nước sẽ là $Q(x)=5500-x$. Số sản phẩm còn lại, doanh nghiệp xuất khẩu ra thị trường quốc tế với giá bán mỗi sản phẩm ổn định trên thị trường quốc tế là $x_0=5000$ (nghìn đồng). Nhà nước đánh thuế trên mỗi sản phẩm xuất khẩu là $y$ (nghìn đồng) sao cho trên mỗi đơn vị sản phẩm xuất khẩu, tiền lãi luôn gấp 4 lần tiền thuế của nhà nước.

Cho hàm số $f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}$ với $a,b,c,d\in \mathbb{R}$. Biết giá trị lớn nhất của hàm số $y=f(x)$ trên đoạn $[0;2]$ bằng 1. Đồ thị hàm số $y=f^{\prime }(x)$ như hình bên và nhận đường thẳng $x=-1$ làm tiệm cận đứng.

Cho hình chóp $S.ABCD$ có $SA\perp (ABCD)$ và đáy $ABCD$ là hình thoi tâm $O$, cạnh $AB=2$, $AC=2$, $SA=1$. Gọi $M$ là trung điểm của $SD$.

Một con rô bốt hút bụi thông minh tự động di chuyển giữa 3 vị trí được đánh số $A,B,C$ trong một phòng trưng bày, nếu đang ở vị trí này thì sau đúng 1 phút, nó sẽ ở vị trí khác, theo quy tắc xác suất sau: Nếu đang ở vị trí $A$, rô bốt sẽ sang vị trí $B$ hoặc vị trí $C$ với xác suất đều bằng 0,5. Nếu đang ở vị trí $B$, xác suất sang vị trí $A$ là 0,6 và sang vị trí $C$ là 0,4. Nếu đang ở vị trí $C$, xác suất sang vị trí $A$ là 0,8 và sang vị trí $B$ là 0,2. Ban đầu, tại thời điểm ban đầu $t=0$ (phút), rô bốt đang ở vị trí $A$.

Một nhóm gồm 9 bạn học sinh, trong đó có Trí và Lan. Các bạn cùng chơi trò chơi tàu lượn siêu tốc gồm 3 toa nối tiếp nhau: Toa 1, Toa 2 và Toa 3. Biết mỗi toa phải có ít nhất 1 người, gọi $p$ là xác suất để Toa 1 chỉ có đúng 2 người là Trí và Lan, tính giá trị $42p$.

Trong một hệ thống trí tuệ nhân tạo (AI) dùng camera để nhận diện vật thể, camera được gắn trên một mô-tơ có thể quay liên tục. Khi camera quay quanh vật thể, góc nhìn thay đổi, làm cho chất lượng các đặc trưng hình ảnh mà hệ thống thu nhận cũng thay đổi. Hệ thống sử dụng hai thuật toán nhận diện độc lập. Với mỗi góc quay $x$ (đơn vị radian), $0\le x\le 8\pi$, mỗi thuật toán đưa ra một chỉ số tin cậy cho kết quả nhận diện. Qua quá trình thử nghiệm, các kỹ sư mô hình hóa hai chỉ số tin cậy này lần lượt bởi các hàm số $f(x)=1+{\sin }^{2}x$ và $g(x)=1+{\cos }^{2}x$. Để đánh giá mức độ phối hợp của hai thuật toán, hệ thống sử dụng một chỉ số kết hợp là $$H(x)={\log }_{4}f(x)\cdot {\log }_{4}g(x).$$ Gọi $H_0={\log }_4\frac{3}{2}$ và hệ thống đạt trạng thái phối hợp tối ưu khi $\sqrt{H(x)}=H_0$. Gọi $S$ tổng tất cả các góc quay $x\in [0;8\pi ]$ tại đó hệ thống đạt trạng thái phối hợp tối ưu, tính $\frac{20S}{\pi }$.

Một số có 12 chữ số được gọi là số thứ vị nếu các chữ số của nó bé hơn 9 và khi tăng mỗi chữ số lên tối đa một đơn vị (mỗi chữ số có thể không tăng hoặc tăng thêm một đơn vị) thì ta được một số mới khác số ban đầu và chia hết cho số ban đầu. Hỏi có bao nhiêu số thứ vị?

Cho hình lăng trụ đứng $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có đáy $ABCD$ là hình thang cân, $AD$ song song $BC$, $AB=BC=CD=7\sqrt{6}$, $AD=14\sqrt{6}$. Góc giữa mặt phẳng $(A^{\prime }CD)$ và $(ABCD)$ bằng $45^0$. Tính khoảng cách từ $B$ đến mặt phẳng $(A^{\prime }CD)$.

Biết hàm số bậc $y=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ có bảng biến thiên như sau: Biết rằng đồ thị hàm số trên cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là $x_1$, $x_2$, $x_3$. Tính giá trị của $S=\frac{x_1+x_2+x_3}{2}$.

Cho bảng vuông gồm 5x5 ô vuông con, mỗi ô được điền một số sao cho trên mỗi hàng tính từ trái qua các số theo thứ tự là các số hạng liên tiếp của một cấp số cộng, các số trên mỗi cột tính từ trên xuống theo thứ tự cũng là các số hạng liên tiếp của một cấp số cộng. Do so suấất nên trên bảng vuông chỉ còn xuất hiện một số số như hình vẽ bên. Gọi $x$ là số được điền vào ô của bảng như hình dưới, tính giá trị của $10x^2$.

(2,0 điểm) Sau $t$ tuần kể từ khi thả 5000 con cá giống vào ao, khối lượng trung bình mỗi con cá được cho bởi công thức: $$w(t)=\frac{4+t-0,02t^2}{100}\text{(kg)},(0\le t\le 15)$$ Do tỉ lệ hao hụt tự nhiên, số lượng cá còn sống trong ao sau $t$ tuần là: $$P(t)=\frac{5000}{t+10}\text{(con)},(0\le t\le 15)$$ Sản lượng cá $y(t)$ thu được sau $t$ tuần là tổng khối lượng cá còn sống trong ao. Hỏi sau bao nhiêu tuần thì sản lượng cá thu hoạch được đạt giá trị lớn nhất?

(2,0 điểm) a) Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, gọi $A,B$ là hai điểm phân biệt thuộc đồ thị của hàm số $y=1+{\log }_3(x-1)$ sao cho $A$ là trung điểm $OB$. Tính độ dài đoạn thẳng $AB$. b) Tìm các số thực dương $a,b,c$ sao cho $a\ne 1$ và thỏa mãn đồng thời các đẳng thức sau: $$b+{\log }_{2}a=0,{\log }_{a}b=\frac{1}{c},{\log }_2\left(\frac{b}{c}\right)=c-b.$$

(2,0 điểm) Gọi $A$ là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 5 chữ số. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập $A$, tính xác suất để chọn được một số chia hết cho 17 và có chữ số hàng đơn vị bằng 3.

(2,0 điểm) Cho hàm số $y=\frac{1}{x}$ có đồ thị là $(C_1)$ và hàm số $y=\frac{4}{x}$ có đồ thị là $(C_2)$. a) Gọi $A$ là điểm thuộc đồ thị $(C_1)$ có hoành độ bằng 1. Xác định tọa độ điểm $B$ thuộc đồ thị hàm số $(C_2)$ sao cho $AB$ đạt giá trị nhỏ nhất. b) Lấy $M$ là điểm bất kỳ thuộc đồ thị $(C_1)$ có hoành độ là $a(a>1)$, gọi $N$ thuộc đồ thị hàm số $(C_2)$ sao cho $MN$ đạt giá trị nhỏ nhất. Chứng minh rằng $MN<AB$.

(2,0 điểm) Một khối gỗ đặc có dạng hình chóp $S.ABCD$ với đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, mặt bên $SAB$ là tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng $2a$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy, đồng thời tam giác $SCD$ là tam giác đều. a) Tính độ dài cạnh $AD$ theo $a$. b) Người ta muốn nối một sợi dây nằm trên bề mặt của khối gỗ từ trọng tâm tam giác $SAB$ đến trọng tâm tam giác $SCD$. Tính độ dài ngắn nhất của sợi dây theo $a$.