Cho hai vectơ $\vec{u},\vec{v}$ có $|\vec{u}|=3,|\vec{v}|=4$ và góc giữa hai vectơ $\vec{u},\vec{v}$ bằng $60^{\circ }$. Tích vô hướng $\vec{u}\cdot \vec{v}$ bằng

Cho ba điểm $A(2;1;4)$, $B(2;2;-6)$, $C(6;0;-1)$. Tích vô hướng của $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}$ có giá trị bằng

Trong không gian tọa độ $Oxyz$, cho $A(1;2;0),B(3;-1;1)$ và $C(1;1;1)$. Tính diện tích tam giác $ABC$.

Trong không gian $Oxyz$, cho hai đường thẳng $\Delta :\{\begin{array}{l}x=0\\ y=2+t\\ z=-t\end{array}$ và $d:\{\begin{array}{l}x=\sqrt{2}\\ y=1+t^{\prime }\\ z=-1+t^{\prime }\end{array}$. Biết rằng có một hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ thỏa mãn $A,C$ cùng thuộc $Ox$, $B,C^{\prime }$ cùng thuộc $\Delta$ và $D,B^{\prime }$ cùng thuộc $d$, thể tích của khối hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ là

Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(1;-1;1)$ và $B(-2;3;-2)$. Khi đó $|\overrightarrow{AB}|$ bằng

Trong không gian, với hệ tọa độ $Oxyz$, cho vectơ $\vec{u}=(3;0;1)$ và $\vec{v}=(2;1;0)$. Tính $\vec{u}\cdot \vec{v}$.

Ba chiếc khinh khí cầu bay lên từ cùng một địa điểm trong không gian. Sau một khoảng thời gian, chiếc thứ nhất nằm cách điểm xuất phát $2\text{km}$ về phía Nam, đồng thời cách mặt đất $0,5\text{km}$; chiếc thứ hai nằm cách điểm xuất phát $1\text{km}$ về phía Bắc và $1\text{km}$ về phía Tây, đồng thời cách mặt đất $0,3\text{km}$. Chiếc thứ ba thẳng hàng với chiếc thứ nhất và thứ hai đồng thời cách mặt đất $0,4\text{km}$ và nằm cách điểm xuất phát $5\text{km}$ về phía Đông. Tính khoảng cách giữa khinh khí cầu thứ nhất và thứ ba là bao nhiêu kilômét? (Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm.)