Cho ba điểm $A(2;1;4)$, $B(2;2;-6)$, $C(6;0;-1)$. Tích vô hướng của $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}$ có giá trị bằng

Trong không gian tọa độ $Oxyz$, cho $A(1;2;0),B(3;-1;1)$ và $C(1;1;1)$. Tính diện tích tam giác $ABC$.

Trong không gian $Oxyz$, cho hai đường thẳng $\Delta :\{\begin{array}{l}x=0\\ y=2+t\\ z=-t\end{array}$ và $d:\{\begin{array}{l}x=\sqrt{2}\\ y=1+t^{\prime }\\ z=-1+t^{\prime }\end{array}$. Biết rằng có một hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ thỏa mãn $A,C$ cùng thuộc $Ox$, $B,C^{\prime }$ cùng thuộc $\Delta$ và $D,B^{\prime }$ cùng thuộc $d$, thể tích của khối hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ là

Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(1;-1;1)$ và $B(-2;3;-2)$. Khi đó $|\overrightarrow{AB}|$ bằng

Trong không gian, với hệ tọa độ $Oxyz$, cho vectơ $\vec{u}=(3;0;1)$ và $\vec{v}=(2;1;0)$. Tính $\vec{u}\cdot \vec{v}$.

Ba chiếc khinh khí cầu bay lên từ cùng một địa điểm trong không gian. Sau một khoảng thời gian, chiếc thứ nhất nằm cách điểm xuất phát $2\text{km}$ về phía Nam, đồng thời cách mặt đất $0,5\text{km}$; chiếc thứ hai nằm cách điểm xuất phát $1\text{km}$ về phía Bắc và $1\text{km}$ về phía Tây, đồng thời cách mặt đất $0,3\text{km}$. Chiếc thứ ba thẳng hàng với chiếc thứ nhất và thứ hai đồng thời cách mặt đất $0,4\text{km}$ và nằm cách điểm xuất phát $5\text{km}$ về phía Đông. Tính khoảng cách giữa khinh khí cầu thứ nhất và thứ ba là bao nhiêu kilômét? (Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm.)

Một khối rubik có dạng $4\times 4$ (mỗi cạnh của hình lập phương nhỏ nhất có độ dài $1\text{cm}$, mỗi cạnh của khối rubik gấp bốn lần cạnh hình lập phương nhỏ nhất đó). Xét hai vị trí $A$ và $B$, trong đó $A$ ở mặt trên cùng và $B$ ở mặt bên phải, với $A$ và $B$ đều là các đỉnh của khối lập phương nhỏ (Hình vẽ bên dưới).

Khoảng cách giữa hai điểm $A$ và $B$ bằng bao nhiêu centimét (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?