Trong không gian $Oxyz$, cho hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có $A(4;6;-5),B(5;7;-4),C(5;6;-4)$ và $D^{\prime }(2;0;2)$.

Cho ba điểm $A(2;1;4)$, $B(2;2;-6)$, $C(6;0;-1)$. Tích vô hướng của $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}$ có giá trị bằng

Điểm nào trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn số phức $z=-1+2i$?


Trong không gian $Oxyz$ cho véc-tơ $\vec{a}=2\vec{i}-3\vec{j}+\vec{k}$, với $\vec{i},\vec{j},\vec{k}$ là các véc-tơ đơn vị trên các trục tọa độ. Tọa độ của véc-tơ $\vec{a}$ là

Trong không gian tọa độ $Oxyz$, cho $A(1;2;0),B(3;-1;1)$ và $C(1;1;1)$. Tính diện tích tam giác $ABC$.

Trong không gian $Oxyz$, cho hai đường thẳng $\Delta :\{\begin{array}{l}x=0\\ y=2+t\\ z=-t\end{array}$ và $d:\{\begin{array}{l}x=\sqrt{2}\\ y=1+t^{\prime }\\ z=-1+t^{\prime }\end{array}$. Biết rằng có một hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ thỏa mãn $A,C$ cùng thuộc $Ox$, $B,C^{\prime }$ cùng thuộc $\Delta$ và $D,B^{\prime }$ cùng thuộc $d$, thể tích của khối hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ là

Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(1;1;-2)$ và $B(2;2;1)$. Tọa độ của vectơ $\overrightarrow{AB}$ là