Cho hai số phức $z_1,z_2$ thỏa mãn $5|z_1-i|=|z_1+1+i|+3|z_1-1-3i|$ và $|z_2+i|=\sqrt{5}$. Giá trị lớn nhất của biểu thức $P=|z_1+z_2-2-4i|$ bằng

Gọi $M(x;y)$ là điểm biểu diễn số phức $z_1$. Đặt $I(0;1),A(-1;-1),B(1;3)$. Khi đó $I$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB$, và $AB=\sqrt{(1-(-1){)}^2+(3-(-1){)}^2}=\sqrt{4+16}=2\sqrt{5}$.
Ta có giả thiết: $5MI=MA+3MB$.
Áp dụng bất đẳng thức tam giác và tâm tỉ cự, tập hợp điểm $M$ thỏa mãn $MC\le 2\sqrt{5}$ với $C\left(\frac{1}{2};\frac{5}{2}\right)$.
Điểm biểu diễn $z_2$ thuộc đường tròn tâm $J(0;-1)$, bán kính $R_2=\sqrt{5}$.
Xét $P=|z_1-(2-z_2+4i)|$, áp dụng bất đẳng thức môđun hình học, ta thu được giá trị lớn nhất $P_{max}=5+4\sqrt{5}$.



Chọn đáp án D.