Cho hai hàm số $f(x)=\frac{1}{3}{x}^3-(m+1)x^2+(3m^2+4m+5)x+2019$ và $g(x)=(m^2+2m+5)x^3-(2m^2+4m+9)x^2-3x+2$ (với $m$ là tham số). Hỏi phương trình $g(f(x))=0$ có bao nhiêu nghiệm?

Ta có $g(x)=0\iff (x-2)\left[(m^2+2m+5)x^2+x-1\right]=0$. Vì $m^2+2m+5=(m+1{)}^2+4>0$ nên phương trình $(m^2+2m+5)x^2+x-1=0$ luôn có $2$ nghiệm trái dấu (khác $2$), suy ra $g(x)=0$ luôn có $3$ nghiệm thực phân biệt $x_1<x_2<x_3$. Mặt khác $f^{\prime }(x)=x^2-2(m+1)x+3m^2+4m+5=(x-m-1{)}^2+2(m+1{)}^2+2>0,\forall x\in \mathbb{R}$, nên $f(x)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ và mỗi phương trình $f(x)=x_i$ ($i=1,2,3$) có duy nhất $1$ nghiệm. Vậy phương trình $g(f(x))=0$ có đúng $3$ nghiệm phân biệt. Chọn đáp án C.