Cho các số thực $a,b>1$ thỏa mãn $a^{{\log }_{b}a}+16b^{{\log }_a\left(\frac{b^8}{a^3}\right)}=12b^2$. Giá trị của biểu thức $P=a^3+b^3$ là

Đặt $t={\log }_{b}a>0\Rightarrow a=b^t$. Phương trình trở thành $b^{t^2}+16b^{\frac{8}{t}-3}=12b^2$. Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho $3$ số dương: $b^{t^2}+8b^{\frac{8}{t}-3}+8b^{\frac{8}{t}-3}\ge 3\sqrt[3]{64b^{t^2+\frac{16}{t}-6}}=12b^{\frac{t^2+\frac{16}{t}-6}{3}}$. Lại có $t^2+\frac{16}{t}=t^2+\frac{8}{t}+\frac{8}{t}\ge 3\sqrt[3]{64}=12\Rightarrow \frac{t^2+\frac{16}{t}-6}{3}\ge 2\Rightarrow VT\ge 12b^2$. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $\{\begin{array}{l}t=2\\ b^4=8b\end{array}\iff \{\begin{array}{l}b=2\\ a=4\end{array}$. Vậy $P=a^3+b^3=4^3+2^3=72$. Chọn đáp án D.