Cho đồ thị hình 1 là của hàm số: $y=\frac{ax+b}{cx+d}$ và BBT hình 2 là của hàm số: $y=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$



a) Hình 1 là đồ thị của hàm số $y=\frac{ax+b}{cx+d}$. Tìm các giá trị a, b, c, d.

b) Hình 2 có đồ thị hàm số có dạng là: $y=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$. Tính $T=a+2b+3c-d$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Từ Hình 1: tiệm cận đứng $x=\frac{1}{2}$, tiệm cận ngang $y=1$, đồ thị đi qua $(2;2)$ và cắt trục hoành tại $x=-1$.

Viết $y=\frac{ax+b}{cx+d}=\frac{a}{c}+\frac{bc-ad}{c(cx+d)}$.
- TCN $y=1\Rightarrow \frac{a}{c}=1\Rightarrow a=c$.
- TCĐ $x=\frac{1}{2}\Rightarrow -\frac{d}{c}=\frac{1}{2}\Rightarrow c=-2d$. Chọn $d=1$ thì $c=a=-2$.
- $y(2)=2$: $\frac{-4+b}{-4+1}=2\Rightarrow b=-2$.
- Kiểm tra $y(-1)=\frac{2-2}{2+1}=0$ ✓.
Vậy $a=b=c=-2,d=1$, tức $y=\frac{2x+2}{2x-1}$.

b) Từ BBT Hình 2: $f^{\prime }(x)=3a{x}^2+2bx+c$ có hai nghiệm $x=0$ và $x=2$; cực tiểu $f(0)=-1$, cực đại $f(2)=3$; hai đầu $f\to \mp \infty$ nên $a<0$.
- $f^{\prime }(0)=0\Rightarrow c=0$.
- $f^{\prime }(2)=0\Rightarrow 12a+4b=0\Rightarrow b=-3a$.
- $f(0)=d=-1$.
- $f(2)=8a+4b+d=8a-12a-1=-4a-1=3\Rightarrow a=-1$, suy ra $b=3$.
Vậy $a=-1,b=3,c=0,d=-1$.

$T=a+2b+3c-d=-1+6+0+1=6$.