Cho ba lực $\overrightarrow{F_1}=\overrightarrow{OA}$, $\overrightarrow{F_2}=\overrightarrow{OB}$ và $\overrightarrow{F_3}=\overrightarrow{OC}$ cùng tác dụng vào một vật tại điểm $O$ và vật đứng yên. Cho biết cường độ của $\overrightarrow{F_3}$ là $100\sqrt{3}N$ và $\widehat{AOB}=120^{\circ }$. Giá trị của $\left|\overrightarrow{F_1}\right|$ là bao nhiêu để $\left|\overrightarrow{F_2}\right|$ đạt giá trị lớn nhất?

Ta có $\overrightarrow{F_1}=\overrightarrow{OA}$, $\overrightarrow{F_2}=\overrightarrow{OB}$ và $\overrightarrow{F_3}=\overrightarrow{OC}$ cùng tác động vào một vật tại điểm $O$ và vật đứng yên nên $\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}+\overrightarrow{F_3}=\vec{0}\iff \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\vec{0}$ $\iff \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=-\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OD}$ ($D$ đối xứng với $C$ qua $O$). Trong hình bình hành $OADB$, có $\widehat{AOB}=120^{\circ }$ suy ra $\widehat{OBD}=60^0$. Áp dụng định lý Sin trong tam giác $OBD$, ta có: $$\frac{OD}{\sin \widehat{DBO}}=\frac{OB}{\sin \widehat{ODB}}\Rightarrow OB=\frac{OD.\sin \widehat{ODB}}{\sin \widehat{DBO}}=\frac{100\sqrt{3}.\sin \widehat{ODB}}{\sin 60^0}.$$ $\left|\overrightarrow{F_2}\right|$ đạt giá trị lớn nhất $\iff OB$ lớn nhất $\iff \sin \widehat{ODB}$ lớn nhất $\iff \sin \widehat{ODB}=1\iff \widehat{ODB}=90^0$. Khi đó, $OB=\frac{100\sqrt{3}.1}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=200$ và $BD=OB.\cos \widehat{OBD}=200.\cos 60^0=100$. Vậy $\left|\overrightarrow{F_1}\right|=100N$.