Một phân xưởng sản xuất hai kiểu mũ. Thời gian để làm ra một chiếc mũ kiểu thứ nhất nhiều gấp hai lần thời gian làm ra một chiếc mũ kiểu thứ hai. Nếu chỉ sản xuất toàn kiểu mũ thứ hai thì trong 1 giờ phân xưởng làm được 60 chiếc. Phân xưởng làm việc 8 tiếng mỗi ngày và thị trường tiêu thụ tối đa trong một ngày là 200 chiếc mũ kiểu thứ nhất và 240 chiếc mũ kiểu thứ hai. Tiền lãi khi bán một chiếc mũ kiểu thứ nhất là 24 nghìn đồng, một chiếc mũ kiểu thứ hai là 15 nghìn đồng. Gọi số lượng mũ kiểu thứ nhất và kiểu thứ hai mà phân xưởng cần sản xuất trong một ngày lần lượt là $x,y$.

a) Sai. Theo giả thiết, $x$ và $y$ phải thoả mãn: $0\le x\le 200$, $0\le y\le 240$; $\frac{2x+y}{60}\le 8$ hay $2x+y\le 480$. Vậy hệ đúng phải có $2x+y\le 480$.
b) Đúng. Gọi số lượng mũ kiểu thứ nhất và kiểu thứ hai mà phân xưởng cần sản xuất trong một ngày lần lượt là $x,y(x,y\ge 0,x,y\in \mathbb{Z})$. Thời gian để làm ra một chiếc mũ kiểu thứ hai là: $\frac{1}{60}$ (giờ). Thời gian để làm ra một chiếc mũ kiểu thứ nhất là: $2\cdot \frac{1}{60}=\frac{1}{30}$ (giờ). Thời gian để làm ra $x$ chiếc mũ kiểu thứ nhất và $y$ chiếc mũ kiểu thứ hai là: $\frac{1}{30}x+\frac{1}{60}y=\frac{2x+y}{60}$ (giờ). Tổng số tiền lãi thu được khi bán $x$ chiếc mũ kiểu thứ nhất và $y$ chiếc mũ kiểu thứ hai là: $T=24x+15y$ (nghìn đồng). Bài toán đưa về: Tìm các số nguyên $x,y$ là nghiệm của hệ bất phương trình: $\{\begin{array}{l}0\le x\le 200\\ 0\le y\le 240\\ 2x+y\le 480\end{array}(II)$ sao cho $T=24x+15y$ đạt giá trị lớn nhất. Miền nghiệm của hệ bất phương trình $(II)$ là miền ngũ giác $OABCD$ với $O(0;0),A(0;240)$, $B(120;240),C(200;80),D(200;0)$. Ta có biểu thức $T=24x+15y$ có giá trị lớn nhất tại một trong các đỉnh của ngũ giác $OABCD$. Tính giá trị của biểu thức $T=24x+15y$ tại cặp số $(x;y)$ là tọa độ các đỉnh của ngũ giác $OABCD$ rồi so sánh các giá trị đó. Ta được $T$ đạt giá trị lớn nhất bằng 6480 khi $x=120,y=240$ ứng với tọa độ đỉnh $B$.
c) Đúng. Vậy để thu được tiền lãi là cao nhất thì trong một ngày, phân xưởng cần sản xuất 120 chiếc mũ kiểu thứ nhất và 240 chiếc mũ kiểu thứ hai. Khi đó tiền lãi thu được là 6480 nghìn đồng hay 6480000 đồng.
d) Sai. Thời gian để làm ra $x$ chiếc mũ kiểu thứ nhất và $y$ chiếc mũ kiểu thứ hai là $\frac{1}{30}x+\frac{1}{60}y=\frac{2x+y}{60}$ (giờ).
a) Theo giả thiết, $x$ và $y$ phải thoả mãn các điều kiện: $0\le x\le 200$, $0\le y\le 240$; $\frac{2x+y}{60}\le 8$ hay $2x+y\le 480$. Vậy hệ bất phương trình đúng phải có $2x+y\le 480$, không phải $2x+y\ge 480$.
b) Miền nghiệm của hệ bất phương trình $(II)$ là miền ngũ giác $OABCD$ với $O(0;0)$, $A(0;240)$, $B(120;240)$, $C(200;80)$, $D(200;0)$. Biểu thức $T=24x+15y$ có giá trị lớn nhất tại một trong các đỉnh của ngũ giác $OABCD$. Tính giá trị của $T$ tại tọa độ các đỉnh rồi so sánh, ta được $T$ đạt giá trị lớn nhất bằng 6480 khi $x=120$, $y=240$ ứng với tọa độ đỉnh $B$.
c) Để thu được tiền lãi là cao nhất thì trong một ngày, phân xưởng cần sản xuất 120 chiếc mũ kiểu thứ nhất và 240 chiếc mũ kiểu thứ hai. Khi đó tiền lãi thu được là 6480 nghìn đồng hay 6480000 đồng.
d) Thời gian để làm ra một chiếc mũ kiểu thứ hai là: $\frac{1}{60}$ (giờ). Thời gian để làm ra một chiếc mũ kiểu thứ nhất là: $2\cdot \frac{1}{60}=\frac{1}{30}$ (giờ). Thời gian để làm ra $x$ chiếc mũ kiểu thứ nhất và $y$ chiếc mũ kiểu thứ hai là: $\frac{1}{30}x+\frac{1}{60}y=\frac{2x+y}{60}$ (giờ), không phải $\frac{2x-y}{60}$.