Cho ba lực $\overrightarrow{F_1}=\overrightarrow{OA}$, $\overrightarrow{F_2}=\overrightarrow{OB}$ và $\overrightarrow{F_3}=\overrightarrow{OC}$ cùng tác động vào một vật tại điểm $O$ và vật đứng yên. Cho biết cường độ của $\overrightarrow{F_3}$ là $50\sqrt{3}N$ và $\widehat{AOB}=120^{\circ }$. Giá trị của $\left|\overrightarrow{F_1}\right|$ là bao nhiêu để $\left|\overrightarrow{F_2}\right|$ đạt giá trị lớn nhất?

Ta có $\overrightarrow{F_1}=\overrightarrow{OA}$, $\overrightarrow{F_2}=\overrightarrow{OB}$ và $\overrightarrow{F_3}=\overrightarrow{OC}$ cùng tác động vào một vật tại điểm $O$ và vật đứng yên nên $\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}+\overrightarrow{F_3}=\vec{0}\iff \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\vec{0}$ $\iff \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=-\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OD}$ ($D$ đối xứng với $C$ qua $O$). Trong hình bình hành $OADB$, có $\widehat{AOB}=120^{\circ }$ suy ra $\widehat{OBD}=60^{\circ }$. Áp dụng định lý Sin trong tam giác $OBD$, ta có: $$\frac{OD}{\sin \widehat{DBO}}=\frac{OB}{\sin \widehat{ODB}}\Rightarrow OB=\frac{OD\cdot \sin \widehat{ODB}}{\sin \widehat{DBO}}=\frac{50\sqrt{3}\cdot \sin \widehat{ODB}}{\sin 60^{\circ }}.$$ $\left|\overrightarrow{F_2}\right|$ đạt giá trị lớn nhất $\iff OB$ lớn nhất $\iff \sin \widehat{ODB}$ lớn nhất $\iff \sin \widehat{ODB}=1\iff \widehat{ODB}=90^{\circ }$. Khi đó, $OB=\frac{50\sqrt{3}\cdot 1}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=100$ và $BD=OB\cdot \cos \widehat{OBD}=100\cdot \cos 60^{\circ }=50$. Vậy $\left|\overrightarrow{F_1}\right|=50N$.