Cho $\underset{0}{\overset{2}{\int }}\left[f(x)-3x^2\right]dx=4$. Tích phân $\underset{0}{\overset{2}{\int }}f(x)dx$ bằng

Gọi $S$ là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=4^x;y=0;x=-1;x=2$. Khẳng định nào sau đây đúng?

Một chiếc cổng có hình dạng là một parabol có khoảng cách giữa hai chân cổng là $8m$. Người ta treo một tấm phông hình chữ nhật có hai đỉnh $M$, $N$ nằm trên Parabol và hai đỉnh $P$, $Q$ nằm trên mặt đất như hình vẽ bên. Ở phần phía ngoài phông người ta mua hoa để trang trí với chi phí 200.000 đồng/$m^2$, biết $MN=4m$, $MQ=6m$. Tính số tiền (đơn vị: triệu đồng) để mua hoa trang trí. (Làm tròn đến hàng phần mười).

Biết $\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left[f(x)+3x^2\right]dx=5$. Khi đó $\underset{1}{\overset{2}{\int }}f(x)dx$ bằng

Một hồ nước nhân tạo được xây dựng trong một khu sinh thái. Trên mô hình minh họa dưới đây, mặt hồ là phần hình phẳng (tô đậm) được giới hạn bởi các trục tọa độ và đồ thị hàm số $y=x^3+\frac{9}{4}{x}^2+\frac{15}{16}x+\frac{71}{64}$ (đơn vị đo độ dài trên mỗi trục là 1 km).

Cho $F(x)$, $G(x)$ lần lượt là một nguyên hàm của các hàm số $f(x)$ và $g(x)$. Hai hàm số $f(x)$ và $g(x)$ liên tục trên $R$.

Một công ty dự định làm các kỉ niệm chương có dạng hình vuông cạnh 20 $cm$, chính giữa bên trong là một hình phẳng được tô đậm như hình vẽ, bên trong hình phẳng này sẽ in tên và thành tích của những nhân viên xuất sắc trong năm. Biết rằng bốn cạnh của hình phẳng là bốn cung parabol có độ dài bằng nhau. Những điểm nằm trên cung $\widehat{AB}$ (cung parabol phía trên) có khoảng cách tới tâm hình vuông bằng khoảng cách tới cạnh $MN$; đồng thời hai điểm $A$, $B$ nằm trên các đường chéo của hình vuông. Tính diện tích phần hình phẳng đó (phần tô đậm) (đơn vị: $c{m}^2$, kết quả làm tròn đến hàng phần chục).