Chào mừng năm mới 2026, nhà hát X tổ chức chương trình ca nhạc. Nếu có 10 khách đăng ký thì giá vé sẽ là 800 nghìn đồng/người. Nếu nhiều hơn 10 người đăng ký thì cứ có thêm 1 người giá vé sẽ giảm 10 nghìn đồng/người cho toàn bộ nhóm khách hàng. Biết rằng với mỗi khách hàng, nhà hát sẽ mất 700 nghìn đồng cho chi phí vận hành và mỗi người chỉ được đăng ký 1 vé.
Nhà hát sẽ cần bán tối đa bao nhiêu vé cho một nhóm khách để không bị lỗ?

(1,0 điểm) Một kĩ sư thiết kế đoạn đường ray tàu lượn như hình vẽ gồm: phần thứ nhất là một phần của parabol $(P_1)$ có đỉnh $D$ cách mặt đất $5,8$ m, phần thứ hai là một phần của parabol $(P_2)$ có đỉnh $H$. Hai parabol này nối tiếp với nhau trơn tru tại điểm $F$. Khoảng cách từ $K$ đến mặt đất bằng bao nhiêu mét?

Một miếng nhôm có bề ngang 32 cm được uốn cong tạo thành máng dẫn nước bằng cách chia tấm nhôm thành 3 phần, hai phần hai bên có bề ngang cùng bằng $x$ cm rồi gập 2 bên lại theo một góc vuông như hình vẽ dưới. Hỏi $x$ bằng bao nhiêu centimet để tạo ra máng có có diện tích mặt ngang $S$ lớn nhất để có thể cho nước đi qua nhiều nhất?

Một vật được ném xa 20 m và độ cao lớn nhất so với mặt đất là 3 m có quỹ đạo bay là parabol $(P):y=a{x}^2+bx+c(a<0)$. Giả sử chọn hệ trục $Oxy$ như hình vẽ (đơn vị trên hệ trục tương ứng với 1 m).

Trước sự phát triển của ngành vật liệu bán dẫn, anh Khoa mở nhà máy sản xuất vi mạch với thiết kế của vi mạch có dạng hình chữ nhật có kích thước $a(\mathrm{pm})\times b(\mathrm{pm})$ với $1\mathrm{pm}=10^{-12}\mathrm{m}$. Biết rằng, chi phí để sản xuất vi mạch bao gồm 50 (triệu đồng) chi phí cho nguyên vật liệu ban đầu, 15 (triệu đồng) /1pm chi phí gia công lắp mảng Silic xung quanh thành vi mạch (xem như độ dày khi gia công là không đáng kể) và 32 (triệu đồng)/ $1{\mathrm{pm}}^2$ tiền gia công phủ chất làm mát bao quanh cả 2 bề mặt vi mạch (xem như cả bề mặt là hình chữ nhật có kích thước như trên). Nếu đơn giá bán ra mỗi chiếc vi mạch là 428 (triệu đồng $/{\mathrm{pm}}^2$ ) và cả 2 kích thước thành phần của vi mạch giảm đi 15 pm thì lợi nhuận thu được mỗi chiếc bằng chi phí sản xuất của mỗi chiếc vi mạch đó. Khi lợi nhuận đạt giá trị nhỏ nhất thì chu vi của vi mạch là bao nhiêu pm (kết quả làm tròn đến hàng phần mười)?

Tại một buổi khai trương, người ta làm một cổng chào có đường viền trong của mặt cắt là đường parabol. Người ta đo khoảng cách giữa hai chân cổng là $4,5m$. Từ một điểm trên thân cổng người ta đo được khoảng cách tới mặt đất (điểm $H$) là $1,8m$ và khoảng cách từ điểm $H$ tới chân cổng gần nhất là $1m$. Hãy tính chiều cao của cổng chào đó (tính theo đường viền trong) theo đơn vị mét và làm tròn kết quả đến hàng phần mười.

Một viên đạn bắn ra từ máy bắn đá đặt ở mặt đất có quỹ đạo là một Parabol $(P)$. Biết rằng đạn của máy bắn đá bắn xa $98m$ và tại thời điểm đạn cao $\frac{225}{7}m$ thì hình chiếu vuông góc của viên đạn trên mặt đất cách xa điểm bắn là $63m$. Vị trí đạn bay cao nhất là bao nhiêu? (bỏ qua chiều cao của máy bắn đá).