Câu 5: Một con đường cần được xây dựng giữa hai thành phố $X$ và $Y$ nằm ở hai bên đối diện của một con sông có chiều rộng đều $1\text{ km}$. $X$ cách sông $2\text{ km}$ và $Y$ cách sông $4\text{ km}$, khoảng cách giữa hai hình chiếu vuông góc của $X$ và $Y$ trên bờ sông là $X^{\prime }{Y}^{\prime }=6\text{ km}$. Một cây cầu sẽ được xây dựng để cho phép giao thông đi qua sông. Vị trí của cây cầu $CD$ cách $X{X}^{\prime }$ là $x\text{ (km)}$. Tìm $x$ để con đường cần được xây dựng giữa hai thành phố $X$ và $Y$ được ngắn nhất.

Nhà máy A chuyên sản xuất một loại sản phẩm cho nhà máy B; Hai nhà máy thỏa thuận rằng, hàng tháng nhà máy A cung cấp cho nhà máy B số lượng sản phẩm theo đơn đặt hàng của nhà máy B (tối đa $90$ tấn sản phẩm). Nếu số lượng đặt hàng là $x$ tấn sản phẩm thì giá bán cho mỗi tấn sản phẩm là $p(x)=90-0,01x^2$ (đơn vị triệu đồng). Chi phí để nhà máy A sản xuất $x$ tấn sản phẩm trong một tháng là $C(x)=\frac{1}{2}(200+27x)$ (đơn vị triệu đồng), thuế giá trị gia tăng mà nhà máy A phải đóng cho nhà nước là $10\%$ tổng doanh thu mỗi tháng. Hỏi mỗi tháng nhà máy A thu được lợi nhuận cao nhất bao nhiêu triệu đồng (sau khi đã trừ thuế giá trị gia tăng)?

Bác thợ hàn dùng một thanh kim loại dài $4\text{ m}$ để uốn thành khung cửa sổ có dạng như hình vẽ. Gọi $r$ là bán kính của nửa đường tròn, tìm $r$ (theo mét) để diện tích tạo thành đạt giá trị lớn nhất.


Câu 2. Một cửa hàng cần nhập 2500 chiếc máy tính bảng trong 1 năm. Mỗi đợt giao $x$ chiếc ($1\le x\le 2500$). Chi phí vận chuyển mỗi đợt là $20+0,002x^2$ USD. Hỏi mỗi đợt nên vận chuyển bao nhiêu máy tính bảng để tổng chi phí nhỏ nhất?

Một hộ làm nghề dệt vải lụa tơ tằm sản xuất mỗi ngày được $x$ mét vải lụa $(1\le x\le 18)$. Tổng chi phí sản xuất $x$ mét vải lụa, tính bằng nghìn đồng, cho bởi hàm chi phí:
$C(x)=x^3-3x^2-20x+500$.
Giả sử hộ làm nghề dệt này bán hết sản phẩm mỗi ngày với giá $220$ nghìn đồng/mét. Gọi $B(x)$ là số tiền bán được và $L(x)$ là lợi nhuận thu được khi bán $x$ mét vải lụa. Khi đó:

Một sợi dây kim loại dài $120\text{cm}$ được cắt thành hai đoạn. Đoạn dây thứ nhất được uốn thành hình vuông, đoạn dây thứ hai được uốn thành vòng tròn.

Tổng diện tích của hình vuông và hình tròn đạt giá trị nhỏ nhất là bao nhiêu? (kết quả lấy đến hàng đơn vị).

Cho một tam giác đều $ABC$ cạnh $a$. Người ta dựng một hình chữ nhật $MNPQ$ có cạnh $MN$ nằm trên cạnh $BC$, hai đỉnh $P$ và $Q$ theo thứ tự nằm trên hai cạnh $AC$ và $AB$ của tam giác. Xác định giá trị lớn nhất của diện tích hình chữ nhật đó.