Câu 4. Một lớp học có $50$ học sinh, trong đó có $20$ học sinh nữ. Biết tỷ lệ học sinh biết đánh cầu lông trong số học sinh nữ là $50\%$ và tỷ lệ học sinh biết đánh cầu lông trong số học sinh nam là $60\%$. Chọn ngẫu nhiên một học sinh. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 0101, trang 9), Câu 4 (Phần II): a) Đúng, b) Đúng, c) Sai, d) Đúng.

Gọi $A$ là biến cố: "Học sinh được chọn là học sinh nam", suy ra $\bar{A}$ là biến cố: "Học sinh được chọn là học sinh nữ".
Gọi $B$ là biến cố: "Học sinh được chọn biết đánh cầu lông", suy ra $\bar{B}$ là biến cố: "Học sinh không biết đánh cầu lông".
Theo giả thiết:
Số học sinh nữ là $20\Rightarrow P(\bar{A})=\frac{20}{50}=\frac{2}{5}$.
Số học sinh nam là $50-20=30\Rightarrow P(A)=\frac{30}{50}=\frac{3}{5}$.
$P(B\mid A)=60\%=\frac{3}{5}$, $P(B\mid \bar{A})=50\%=\frac{1}{2}$.

a) Xác suất học sinh được chọn là nữ bằng $P(\bar{A})=\frac{2}{5}$. Khẳng định a đúng.

b) Xác suất học sinh biết đánh cầu lông biết học sinh này là nam bằng $P(B\mid A)=\frac{3}{5}$. Khẳng định b đúng.

c) Theo công thức xác suất toàn phần:
$P(B)=P(A)\cdot P(B\mid A)+P(\bar{A})\cdot P(B\mid \bar{A})=\frac{3}{5}\cdot \frac{3}{5}+\frac{2}{5}\cdot \frac{1}{2}=\frac{9}{25}+\frac{5}{25}=\frac{14}{25}$.
Xác suất học sinh được chọn là nam biết học sinh đó biết đánh cầu lông là:
$P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{P(A)\cdot P(B\mid A)}{P(B)}=\frac{\frac{9}{25}}{\frac{14}{25}}=\frac{9}{14}\ne \frac{1}{4}$. Khẳng định c sai.

d) Ta có $P(\bar{B}\mid A)=1-P(B\mid A)=1-\frac{3}{5}=\frac{2}{5}$.
$P(\bar{B}\mid \bar{A})=1-P(B\mid \bar{A})=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$.
$P(\bar{B})=1-P(B)=1-\frac{14}{25}=\frac{11}{25}$.
Xác suất học sinh là nam khi biết học sinh đó không biết đánh cầu lông là:
$P(A\mid \bar{B})=\frac{P(A\cap \bar{B})}{P(\bar{B})}=\frac{P(A)\cdot P(\bar{B}\mid A)}{P(\bar{B})}=\frac{\frac{3}{5}\cdot \frac{2}{5}}{\frac{11}{25}}=\frac{\frac{6}{25}}{\frac{11}{25}}=\frac{6}{11}$. Khẳng định d đúng.