Câu 2. (1 điểm) Anh An làm một cái bồn chứa nước gồm hai phần (minh họa ở hình vẽ bên dưới)
- Phần thân dùng để chứa nước là hình hộp chữ nhật có đáy là hình vuông cạnh dài $1,2m$, chiều cao của bồn là $2m$.
- Phần nắp bồn là hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy dài $1,2m$. Để tránh đọng nước mưa trên nắp bồn, anh An thiết kế cạnh bên của nắp bồn tạo với đáy bồn một góc $30^{\circ }$.

a. Tính thể tích phần thân bồn chứa nước (đơn vị $m^3$, làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

b. Tính thể tích phần nắp bồn nước (đơn vị $m^3$, làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có độ dài các cạnh $AB=a$, $AD=3a$, $A{A}^{\prime }=2a$ $(a>0)$. Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $A^{\prime }BC$. Biết thể tích khối chóp $G.ABCD$ bằng $\frac{m{a}^3}{n}$, với $m,n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ và $\frac{m}{n}$ là phân số tối giản. Tính giá trị $P=m\sqrt{n}$?

Cho khối chóp có diện tích đáy $B=3a^2$ và chiều cao $h=2a$. Thể tích của khối chóp đã cho bằng

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$, $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy và $SA=a\sqrt{3}$.
a) Tính thể tích khối chóp đã cho
b) Tính khoảng cách từ điểm $B$ đến mặt phẳng $(SCD)$.

Cho hình vuông $ABCD$ có cạnh bằng 4. Lấy $H$, $K$ lần lượt trên các cạnh $AB$, $AD$ sao cho $BH=3HA$, $AK=3KD$. Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$ tại $H$ lấy điểm $S$ sao cho $\widehat{SBH}=30^{\circ }$. Xét tính đúng, sai của các khẳng định sau:
a) Thể tích của khối chóp $S.ABC$ bằng $\frac{16\sqrt{3}}{3}$.
b) Khoảng cách giữa $AB$ và $SD$ bằng $\frac{4\sqrt{57}}{19}$.
c) $SH=\sqrt{3}$.
d) Gọi $E$ là giao điểm của $CH$ và $BK$, cosin của góc giữa hai đường thẳng $SE$ và $BC$ bằng $\frac{m}{n\sqrt{39}}$ với $m\in \mathbb{Z};n\in {\mathbb{N}}^{\ast };\frac{m}{n}$ là phân số tối giản. Giá trị của biểu thức $T=2m-n=31$.

Cho hình chóp tam giác $S.ABC$ có $AB=1,AC=2$, góc $BAC=120^o$ và $SA\perp (ABC)$. Gọi $M,N$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $A$ lên cạnh $SB,SC$ và $\alpha$ là góc tạo bởi đường thẳng $SA$ với mặt phẳng $(AMN)$ sao cho $\sin \alpha =\frac{\sqrt{21}}{7}$. Thể tích của khối chóp đã cho bằng bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?

Một chi tiết máy mẫu bằng nhựa đúc đặc có dạng hình chóp tứ giác đều, cạnh đáy bằng 20 cm. Do bị lỗi kỹ thuật, bên trong chi tiết này có một khoang rỗng. Để kiểm tra, kỹ sư thả chìm hoàn toàn chi tiết máy vào một bể chứa dung dịch chống gỉ có dạng hình lăng trụ đứng, có đáy là hình vuông cạnh bằng 30 cm. Khi đó, mực dung dịch trong bể dâng thêm 2 cm và dung dịch đã tràn vào và lấp đầy khoang rỗng bên trong. Sau khi vớt chi tiết ra và lau khô bề mặt, khối lượng của nó tăng thêm 160 gam so với ban đầu. Biết khối lượng riêng của dung dịch là $0,8{\text{ g/cm}}^3$. Hãy tính độ dài cạnh bên của hình chóp nói trên. (Kết quả làm tròn đến hàng phần mười).