Câu 1: Một vật trang trí có dạng một khối tròn xoay được tạo thành khi quay miền $(R)$ (phần tô đậm trong hình vẽ) quanh trục $MN$. Biết rằng $ABCD$ là hình chữ nhật với $AB=6\text{ cm}$, $AD=10\text{ cm}$ và $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AB,CD$. Hai đường cong là đường Elip có hình chữ nhật cơ sở là $ABCD$ và đường tròn tiếp xúc với hai cạnh $AD$ và $BC$. Gắn hệ tọa độ $Oxy$ (đơn vị trên mỗi trục là $1\text{ cm}$) như hình vẽ.

Có một hình phẳng $(H)$ (phần tô đậm trong hình vẽ bên) được tạo ra bằng cách vẽ một hình vuông có cạnh bằng $4$. Sau đó, ở bốn góc hình vuông đó vẽ bốn đường cong đều có tính chất là: tích khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc mỗi đường cong đó đến hai trục đối xứng $d_1,d_2$ của hình vuông bằng $2$. Khi cho hình phẳng $(H)$ quay quanh trục $d_1$ ta sẽ thu được một vật thể tròn xoay, thể tích vật thể tròn xoay đó bằng bao nhiêu (không làm tròn kết quả các phép tính trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng phần chục)?

Một kỹ sư thiết kế một bình chứa nhiên liệu có thể đặt dưới thân máy bay trực thăng để mở rộng tầm bay của nó. Sau một số thử nghiệm trên bản vẽ, người này quyết định tạo hình cho bình chứa bằng cách quay đồ thị hàm số $f(x)=a+bx-\frac{x^2}{16}$, với $-4\le x\le 4$ quanh trục $Ox$ (đơn vị: ${\text{m}}^3$). Biết đồ thị hàm số $y=f(x)$ đi qua hai điểm $A(0;1)$ và $B(4;0)$.

Cho hình phẳng $(H)$ được giới hạn bởi đường elip có phương trình $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$. Tính thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng $(H)$ quanh trục $Ox$.

Một vật trang trí có dạng một khối tròn xoay được tạo thành khi quay miền $(R)$ (phần tô đậm trong hình vẽ bên) quanh trục $AB$. Miền $(R)$ được giới hạn bởi các cạnh $AB,AD,BC$, một nửa đường chéo $AC$ của hình vuông $ABCD$ và cung phần tư của đường tròn bán kính bằng $2\text{ cm}$ với tâm là trung điểm của cạnh $AD$. Tính thể tích của vật trang trí đó, làm tròn kết quả đến hàng phần trăm.

Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số $y=x{e}^x$, trục hoành và hai đường thẳng $x=0,x=1$ xung quanh trục $Ox$ được tính bởi công thức nào dưới đây?

Thể tích của khối tròn xoay sinh bởi hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số $y=x^2-2x$, $y=4-x^2$ khi nó quay quanh trục hoành là