Biết rằng hàm số $f(x)=2x^3+a{x}^2-6x+b$ ( $a$ và $b$ là hằng số thực) đạt cực trị bằng 4 tại $x=1$. Chọn đúng hoặc sai cho mỗi ý a), b), c), d).

(AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=6x^2+2ax-6$. Vì hàm đạt cực trị tại $x=1$ nên $f^{\prime }(1)=6+2a-6=0$, suy ra $a=0$. Hàm đạt cực trị bằng 4 tại $x=1$ nên $f(1)=2-6+b=4$, suy ra $b=8$. Vậy $f(x)=2x^3-6x+8$.
a) $a+b=0+8=8$: đúng.
b) $f^{\prime }(x)=6x^2-6=6(x-1)(x+1)$; $f^{\prime }$ đổi dấu từ + sang - tại $x=-1$ (cực đại) và từ - sang + tại $x=1$ (cực tiểu). Vậy hàm đạt cực tiểu (không phải cực đại) tại $x=1$: sai.
c) $x=-1$ là nghiệm của $f^{\prime }(x)$ và $f^{\prime }$ đổi dấu qua $x=-1$, nên $x=-1$ là điểm cực trị: đúng.
d) Giá trị cực tiểu là $f(1)=2-6+8=4$, không phải 12: sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(1)=0$ cho $a=0$; $f(1)=4$ cho $b=8$; nên $a+b=8$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=6(x-1)(x+1)$ đổi dấu từ - sang + tại $x=1$, nên $x=1$ là điểm cực tiểu, không phải cực đại.
c) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(-1)=0$ và $f^{\prime }$ đổi dấu từ + sang - tại $x=-1$, nên $x=-1$ là điểm cực đại (một điểm cực trị).
d) (AI giải đề cho tôi)
Giá trị cực tiểu là $f(1)=2-6+8=4$, không phải 12.