Cho hàm số $y=f(x)=e^{x^3-3x^2}$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $y=f(x)=e^{g(x)}$ với $g(x)=x^3-3x^2$, $g^{\prime }(x)=3x^2-6x=3x(x-2)$. a) $g^{\prime }(x)=0$ tại $x=0,2$; $g$ giảm trên $(0;2)$, tăng ngoài đó nên $g$ đạt cực tiểu tại $x=2$, $g(2)=8-12=-4$, giá trị cực tiểu $f(2)=e^{-4}$. Đúng. b) Trên $[1;5]$: $g(1)=-2$, $g(2)=-4$, $g(5)=125-75=50$ nên min $=e^{-4}$ ($a=-4$), max $=e^{50}$ ($b=50$), $a+b=46$. Đúng. c) $f^{\prime }(x)=3x(x-2)e^{g(x)}<0$ trên $(1;2)$ nên hàm số nghịch biến trên $(1;2)$, không đồng biến trên $(1;+\infty )$. Sai. d) Khi $x\to +\infty$, $g(x)\to +\infty$ nên $f(x)\to +\infty$, hàm số không đạt GTLN trên tập xác định $\mathbb{R}$ (tại $x=0$ chỉ là cực đại). Sai. Khớp đáp án nguồn: 3a Đúng, 3b Đúng, 3c Sai, 3d Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$g^{\prime }(x)=3x(x-2)$; $g$ đạt cực tiểu tại $x=2$ với $g(2)=-4$, nên giá trị cực tiểu của $f$ là $e^{-4}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
So sánh $g(1)=-2$, $g(2)=-4$, $g(5)=50$: min $=e^{-4}$, max $=e^{50}$, nên $a+b=-4+50=46$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=3x(x-2)e^{x^3-3x^2}<0$ trên $(1;2)$ nên hàm số nghịch biến trên $(1;2)$, không đồng biến trên toàn $(1;+\infty )$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Khi $x\to +\infty$ thì $f(x)\to +\infty$ nên hàm số không có GTLN trên tập xác định; $x=0$ chỉ là điểm cực đại.