Cho hàm số $y=-x^3+2x^2-3$.

(AI giải đề cho tôi)
Cho hàm số $y=-x^3+2x^2-3$.

a) $y^{\prime }=-3x^2+4x$. (đúng)

b) $y^{\prime }=0\iff x=0$ hoặc $x=\frac{4}{3}$. Với $x\in \left(0;\frac{4}{3}\right)$ thì $x>0$ và $-3x+4>0$ nên $y^{\prime }>0$, hàm số đồng biến trên khoảng này. (đúng)

c) $y^{\prime }<0$ khi $x<0$ (gần 0) và $y^{\prime }>0$ khi $0<x<\frac{4}{3}$, nên $y^{\prime }$ đổi dấu từ âm sang dương khi qua $x=0$, hàm số đạt cực tiểu tại $x=0$ (với $y_{CT}=-3$). (đúng)

d) Trên $[0;+\infty )$: hàm số đồng biến trên $\left(0;\frac{4}{3}\right)$, nghịch biến trên $\left(\frac{4}{3};+\infty \right)$ và $y\to -\infty$ khi $x\to +\infty$, nên hàm số không có giá trị nhỏ nhất trên nửa khoảng này (mặc dù $y(0)=-3$ và $y\left(\frac{4}{3}\right)=-\frac{49}{27}>-3$). Do đó khẳng định là sai. Kết quả khớp với đáp án nguồn: a) đúng, b) đúng, c) đúng, d) sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Đạo hàm của $y=-x^3+2x^2-3$ là $y^{\prime }=-3x^2+4x$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=x(-3x+4)>0$ với mọi $x\in \left(0;\frac{4}{3}\right)$ nên hàm số đồng biến trên khoảng này.
c) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }$ đổi dấu từ âm sang dương khi qua $x=0$ nên hàm số đạt cực tiểu tại $x=0$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Trên $[0;+\infty )$, hàm số nghịch biến trên $\left(\frac{4}{3};+\infty \right)$ và $y\to -\infty$ khi $x\to +\infty$, nên hàm số không có giá trị nhỏ nhất; khẳng định $-3$ là sai.